1. مسئله: رسم سیگنال‌های گسسته و پیوسته با اعمال تبدیلات مختلف روی محور زمان. 2. بخش a) سیگنال $x[-n + 2]$ با $n$ از $-2$ تا $2$ و مقادیر $x[n]$ داده شده است. - فرمول تبدیل: $y[n] = x[-n + 2]$ - گام 1: جایگذاری مقادیر $n$ از $-2$ تا $2$ در $-n + 2$. - گام 2: محاسبه مقدار متناظر $x$ برای هر مقدار جدید. محاسبات: $n=-2 \Rightarrow -(-2)+2=4 \Rightarrow x[4]=0$ (خارج از دامنه، مقدار صفر فرض می‌شود) $n=-1 \Rightarrow -(-1)+2=3 \Rightarrow x[3]=0$ $n=0 \Rightarrow -(0)+2=2 \Rightarrow x[2]=0$ $n=1 \Rightarrow -(1)+2=1 \Rightarrow x[1]=1$ $n=2 \Rightarrow -(2)+2=0 \Rightarrow x[0]=0$ نتیجه: سیگنال $y[n]$ با مقادیر $[0,0,0,1,0]$ برای $n$ از $-2$ تا $2$. 3. بخش b) سیگنال $x[2n - 3]$ با $n$ از $-2$ تا $2$ و مقادیر $x[n]$ داده شده است. - فرمول تبدیل: $y[n] = x[2n - 3]$ - گام 1: جایگذاری مقادیر $n$ در $2n - 3$. - گام 2: محاسبه مقدار متناظر $x$. محاسبات: $n=-2 \Rightarrow 2(-2)-3=-7 \Rightarrow x[-7]=0$ $n=-1 \Rightarrow 2(-1)-3=-5 \Rightarrow x[-5]=0$ $n=0 \Rightarrow 2(0)-3=-3 \Rightarrow x[-3]=0$ $n=1 \Rightarrow 2(1)-3=-1 \Rightarrow x[-1]=1$ $n=2 \Rightarrow 2(2)-3=1 \Rightarrow x[1]=0$ نتیجه: سیگنال $y[n]$ با مقادیر $[0,0,0,1,0]$ برای $n$ از $-2$ تا $2$. 4. بخش c) سیگنال پیوسته $x(-(t/4) + 5)$ با $t$ از $-1$ تا $1$ و $x(t)$ مستطیلی است که بین $-1$ و $1$ برابر 1 و در غیر این صورت 0 است. - فرمول تبدیل: $y(t) = x\left(-\frac{t}{4} + 5\right)$ - گام 1: تعیین بازه‌ای که آرگومان $x$ در بازه $[-1,1]$ باشد. حل نامساوی: $$-1 \leq -\frac{t}{4} + 5 \leq 1$$ از نامساوی اول: $$-1 \leq -\frac{t}{4} + 5 \Rightarrow -6 \leq -\frac{t}{4} \Rightarrow 6 \geq \frac{t}{4} \Rightarrow t \leq 24$$ از نامساوی دوم: $$-\frac{t}{4} + 5 \leq 1 \Rightarrow -\frac{t}{4} \leq -4 \Rightarrow \frac{t}{4} \geq 4 \Rightarrow t \geq 16$$ نتیجه: $t$ باید بین $16$ و $24$ باشد که در بازه $[-1,1]$ نیست، پس سیگنال در این بازه صفر است. 5. بخش d) سیگنال $x(2t - 3)$ با $t$ از $-1$ تا $2$ و $x(t)$ مثلثی با نقاط $(-1,0)$، $(0,1)$ و $(2,0)$. - فرمول تبدیل: $y(t) = x(2t - 3)$ - گام 1: تعیین نقاط متناظر در $x$ با جایگذاری $2t - 3$. برای $t=-1$: $2(-1)-3 = -5$ برای $t=0$: $2(0)-3 = -3$ برای $t=2$: $2(2)-3 = 1$ از آنجا که $x(t)$ فقط در بازه $[-1,2]$ تعریف شده، مقادیر $x(-5)$ و $x(-3)$ صفر و $x(1)$ طبق مثلث برابر مقدار بین $(0,1)$ و $(2,0)$ است که با خطی بودن، مقدار $x(1) = 0.5$ است. نتیجه: سیگنال $y(t)$ در بازه $[-1,2]$ مقادیر $[0,0,0.5]$ دارد. 6. سوال 2، بخش a) سیگنال گسسته $x[n] = 2\delta[n-1] + 2\delta[n]$. - دلتای کرونکر $\delta[n-k]$ برابر 1 در $n=k$ و صفر در غیر آن است. نتیجه: $x[0] = 2$, $x[1] = 2$, سایر مقادیر صفر. 7. بخش b) سیگنال پیوسته $x(t) = u(t) - u(t+1) - u(t-1)$ که $u(t)$ تابع پله واحد است. - تحلیل: $u(t)$ 0 برای $t<0$ و 1 برای $t\geq0$. - محاسبه: برای $t<-1$: $u(t)=0$, $u(t+1)=0$, $u(t-1)=0$ پس $x(t)=0$ برای $-1 \leq t < 0$: $u(t)=0$, $u(t+1)=1$, $u(t-1)=0$ پس $x(t) = 0 - 1 - 0 = -1$ برای $0 \leq t < 1$: $u(t)=1$, $u(t+1)=1$, $u(t-1)=0$ پس $x(t) = 1 - 1 - 0 = 0$ برای $t \geq 1$: $u(t)=1$, $u(t+1)=1$, $u(t-1)=1$ پس $x(t) = 1 - 1 - 1 = -1$ 8. بخش c) سیگنال گسسته $x[n] = u(-t)$ که $u$ تابع پله است. - چون $t$ متغیر پیوسته است و $n$ گسسته، فرض می‌کنیم $x[n] = u(-n)$. - $u(-n)$ برابر 1 برای $n \leq 0$ و 0 برای $n > 0$. 9. بخش d) سیگنال پیوسته $x(t) = \sin(t) u(t)$. - $u(t)$ تابع پله است که سیگنال را برای $t<0$ صفر می‌کند. - نتیجه: $x(t) = 0$ برای $t<0$ و $x(t) = \sin(t)$ برای $t \geq 0$. نتیجه نهایی: هر بخش سیگنال با توجه به تبدیلات و تعاریف رسم و مقادیر محاسبه شد.