Alu Vierkantrohr Jx Jy A06D3B

1. **Problemstellung:** Wir sollen die statischen Momente der Flächenträgheit $J_x$ und $J_y$ für ein Aluminium-Vierkantrohr mit den Maßen $240$ mm (Höhe), $100$ mm (Breite) und $5$ mm Wandstärke bestimmen. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** Für ein rechteckiges Hohlprofil (Vierkantrohr) gilt: $$J_x = \frac{b h^3}{12} - \frac{b_i h_i^3}{12}$$ $$J_y = \frac{h b^3}{12} - \frac{h_i b_i^3}{12}$$ Dabei sind: - $b = 100$ mm (Außenbreite) - $h = 240$ mm (Außenhöhe) - $t = 5$ mm (Wandstärke) - $b_i = b - 2t = 100 - 2 \times 5 = 90$ mm (Innenbreite) - $h_i = h - 2t = 240 - 2 \times 5 = 230$ mm (Innenhöhe) 3. **Berechnung von $J_x$:** $$J_x = \frac{100 \times 240^3}{12} - \frac{90 \times 230^3}{12}$$ Zwischenschritte: $$240^3 = 240 \times 240 \times 240 = 13,824,000$$ $$230^3 = 230 \times 230 \times 230 = 12,167,000$$ Also: $$J_x = \frac{100 \times 13,824,000}{12} - \frac{90 \times 12,167,000}{12}$$ $$= \frac{1,382,400,000}{12} - \frac{1,095,030,000}{12}$$ $$= 115,200,000 - 91,252,500 = 23,947,500 \text{ mm}^4$$ 4. **Berechnung von $J_y$:** $$J_y = \frac{240 \times 100^3}{12} - \frac{230 \times 90^3}{12}$$ Zwischenschritte: $$100^3 = 1,000,000$$ $$90^3 = 729,000$$ Also: $$J_y = \frac{240 \times 1,000,000}{12} - \frac{230 \times 729,000}{12}$$ $$= \frac{240,000,000}{12} - \frac{167,670,000}{12}$$ $$= 20,000,000 - 13,972,500 = 6,027,500 \text{ mm}^4$$ 5. **Umrechnung in cm$^4$:** Da $1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}$, gilt $1 \text{ cm}^4 = 10^4 \text{ mm}^4 = 10,000 \text{ mm}^4$. $$J_x = \frac{23,947,500}{10,000} = 2,394.75 \text{ cm}^4$$ $$J_y = \frac{6,027,500}{10,000} = 602.75 \text{ cm}^4$$ **Endergebnis:** $$J_x \approx 2,395 \text{ cm}^4$$ $$J_y \approx 603 \text{ cm}^4$$