1. **Énoncé du problème :** Une télévision privée utilise des codes à huit chiffres pour ses décodeurs. On doit calculer le nombre d'abonnés potentiels et ceux avec huit chiffres différents. 2. **Formule et règles importantes :** - Le nombre total de codes à 8 chiffres est $10^8$ car chaque chiffre peut être de 0 à 9. - Le nombre de codes avec 8 chiffres différents est une permutation de 10 chiffres pris 8 à la fois : $P(10,8) = \frac{10!}{(10-8)!}$. 3. **Calculs :** - Nombre total d'abonnés potentiels : $$10^8 = 100000000$$ - Nombre d'abonnés avec 8 chiffres différents : $$P(10,8) = \frac{10!}{2!} = \frac{3628800}{2} = 1814400$$ --- 1. **Énoncé :** Dans une association de 50 personnes, 27 inscrites aux activités culturelles, 22 aux sportives, 10 ni l'un ni l'autre. Trouver le nombre inscrits aux deux activités. 2. **Formule :** Utiliser la formule d'intersection : $$|C \cup S| = |C| + |S| - |C \cap S|$$ Sachant que $|C \cup S| = 50 - 10 = 40$. 3. **Calcul :** $$40 = 27 + 22 - |C \cap S|$$ $$|C \cap S| = 27 + 22 - 40 = 9$$ --- 1. **Énoncé :** Élection d'un comité de 4 postes parmi 20 personnes. 2. **Formule :** Le nombre de comités possibles est une permutation de 20 personnes prises 4 à la fois : $$P(20,4) = \frac{20!}{16!}$$ 3. **Calcul :** $$P(20,4) = 20 \times 19 \times 18 \times 17 = 116280$$ 4. **Cas avec contraintes :** Président et vice-président doivent être des hommes (12 hommes), les autres postes sans restriction. 5. **Calcul :** - Choix président : 12 - Choix vice-président : 11 (un homme de moins) - Choix trésorier : 18 (reste 20 - 2) - Choix secrétaire : 17 Nombre de comités : $$12 \times 11 \times 18 \times 17 = 40416$$ --- 1. **Énoncé :** Nombre de mots différents formés avec les lettres du mot CLARTE. 2. **Formule :** Le nombre de permutations de 6 lettres distinctes est : $$6! = 720$$ 3. **Énoncé :** Nombre de mots formés avec les lettres du mot SOS. 4. **Formule :** Le mot SOS a 3 lettres avec S répété 2 fois. Le nombre de permutations est : $$\frac{3!}{2!} = 3$$ --- **Exercice 2 :** 1. **Énoncé :** 55% des tables et 30% des chaises sont fournies au détaillant A. 65% des unités sont des chaises, le reste des tables. 2. **Calcul de la probabilité qu'une unité soit une chaise et fournie au détaillant A :** $$P(\text{chaise} \cap A) = P(\text{chaise}) \times P(A|\text{chaise}) = 0.65 \times 0.30 = 0.195$$ 3. **Probabilité qu'une unité soit fournie au détaillant A :** $$P(A) = P(\text{chaise})P(A|\text{chaise}) + P(\text{table})P(A|\text{table}) = 0.65 \times 0.30 + 0.35 \times 0.55 = 0.195 + 0.1925 = 0.3875$$ 4. **Probabilité qu'une unité soit chaise ou fournie au détaillant A (ou les deux) :** $$P(\text{chaise} \cup A) = P(\text{chaise}) + P(A) - P(\text{chaise} \cap A) = 0.65 + 0.3875 - 0.195 = 0.8425$$ 5. **Indépendance :** Vérifier si $P(\text{chaise} \cap A) = P(\text{chaise}) \times P(A)$ : $$0.195 \neq 0.65 \times 0.3875 = 0.251875$$ Donc, les événements ne sont pas indépendants. --- **Exercice 3 :** 1. **Énoncé :** Fonction $f(x) = k(4x - x^2)$ pour $x \in ]0,4[$, 0 sinon, $k > 0$. 2. **Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité :** La somme des probabilités doit être 1 : $$\int_0^4 k(4x - x^2) dx = 1$$ Calcul de l'intégrale : $$\int_0^4 (4x - x^2) dx = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^4 = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$$ Donc : $$k \times \frac{32}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{32}$$ 3. **Fonction de répartition $F(x)$ :** Pour $x < 0$, $F(x) = 0$. Pour $0 \leq x \leq 4$ : $$F(x) = \int_0^x k(4t - t^2) dt = k \left(2x^2 - \frac{x^3}{3}\right) = \frac{3}{32} \left(2x^2 - \frac{x^3}{3}\right) = \frac{3}{32} \times \frac{6x^2 - x^3}{3} = \frac{6x^2 - x^3}{32}$$ Pour $x > 4$, $F(x) = 1$. 4. **Calcul de $P(X > 2)$ :** $$P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - \frac{6 \times 2^2 - 2^3}{32} = 1 - \frac{6 \times 4 - 8}{32} = 1 - \frac{24 - 8}{32} = 1 - \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$ 5. **Espérance $E(X)$ :** $$E(X) = \int_0^4 x f(x) dx = \int_0^4 x k (4x - x^2) dx = k \int_0^4 (4x^2 - x^3) dx$$ Calcul de l'intégrale : $$\int_0^4 4x^2 dx = \left[\frac{4x^3}{3}\right]_0^4 = \frac{4 \times 64}{3} = \frac{256}{3}$$ $$\int_0^4 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^4 = \frac{256}{4} = 64$$ Donc : $$E(X) = k \left(\frac{256}{3} - 64\right) = \frac{3}{32} \times \left(\frac{256 - 192}{3}\right) = \frac{3}{32} \times \frac{64}{3} = 2$$ 6. **Variance $V(X)$ :** $$E(X^2) = \int_0^4 x^2 f(x) dx = k \int_0^4 x^2 (4x - x^2) dx = k \int_0^4 (4x^3 - x^4) dx$$ Calcul : $$\int_0^4 4x^3 dx = \left[x^4\right]_0^4 = 256$$ $$\int_0^4 x^4 dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^4 = \frac{1024}{5}$$ Donc : $$E(X^2) = k (256 - \frac{1024}{5}) = \frac{3}{32} \times \frac{256 \times 5 - 1024}{5} = \frac{3}{32} \times \frac{1280 - 1024}{5} = \frac{3}{32} \times \frac{256}{5} = \frac{768}{160} = 4.8$$ Variance : $$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4.8 - 2^2 = 4.8 - 4 = 0.8$$