1. **بيان المسألة:** لدينا جدول تكرار لفئات بيانات ونريد إيجاد المنوال، الوسيط، التباين، ثم تعديل البيانات حسب العلاقة $$y=44-2x$$ وحساب الوسط، الوسيط، والانحراف المعياري بعد التعديل. 2. **البيانات:** \begin{align*} \text{الفئات} & : 1-5, 6-10, 11-15, 16-20, 21-25 \\ \text{التكرار} & : 3, 4, 6, 4, 3 \end{align*} 3. **حساب المنوال:** المنوال هو الفئة التي لها أكبر تكرار. أكبر تكرار هو 6 للفئة 11-15. 4. **حساب الوسيط:** - مجموع التكرارات = $$3+4+6+4+3=20$$ - الوسيط هو القيمة التي تقع في الترتيب $$\frac{20}{2}=10$$ - التكرارات التراكمية: - 3 (1-5) - 7 (6-10) - 13 (11-15) الوسيط يقع في الفئة 11-15. صيغة الوسيط: $$\text{الوسيط} = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F}{f}\right) \times w$$ حيث: - $$L=10.5$$ (حد الفئة السفلي لفئة الوسيط) - $$N=20$$ (مجموع التكرارات) - $$F=7$$ (التكرار التراكمي قبل فئة الوسيط) - $$f=6$$ (تكرار فئة الوسيط) - $$w=5$$ (عرض الفئة) التعويض: $$\text{الوسيط} = 10.5 + \left(\frac{10 - 7}{6}\right) \times 5 = 10.5 + \frac{3}{6} \times 5 = 10.5 + 2.5 = 13$$ 5. **حساب التباين:** - نحسب نقطة منتصف كل فئة: - 1-5: 3 - 6-10: 8 - 11-15: 13 - 16-20: 18 - 21-25: 23 - نحسب المتوسط $$\bar{x}$$: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3\times3 + 4\times8 + 6\times13 + 4\times18 + 3\times23}{20} = \frac{9 + 32 + 78 + 72 + 69}{20} = \frac{260}{20} = 13$$ - نحسب التباين $$\sigma^2$$: $$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$$ نحسب كل مربع: \begin{align*} (3-13)^2 &= 100 \\ (8-13)^2 &= 25 \\ (13-13)^2 &= 0 \\ (18-13)^2 &= 25 \\ (23-13)^2 &= 100 \end{align*} ثم: $$\sigma^2 = \frac{3\times100 + 4\times25 + 6\times0 + 4\times25 + 3\times100}{20} = \frac{300 + 100 + 0 + 100 + 300}{20} = \frac{800}{20} = 40$$ 6. **تعديل البيانات حسب العلاقة $$y=44-2x$$:** - المتوسط الجديد: $$\bar{y} = 44 - 2 \times \bar{x} = 44 - 2 \times 13 = 44 - 26 = 18$$ - الوسيط الجديد: $$\text{الوسيط}_y = 44 - 2 \times 13 = 18$$ - الانحراف المعياري الجديد: الانحراف المعياري $$\sigma = \sqrt{40} = 6.3246$$ عند التحويل $$y = a - bx$$، الانحراف المعياري يتغير إلى: $$\sigma_y = |b| \times \sigma_x = 2 \times 6.3246 = 12.649$$ **النتائج النهائية:** - المنوال: الفئة 11-15 - الوسيط: 13 - التباين: 40 - بعد التعديل: - الوسط: 18 - الوسيط: 18 - الانحراف المعياري: 12.649