1. **Stating the problem:** Vi skal teste hypotesen om, at køn og sport er uafhængige ved hjælp af et chi-i-anden test for uafhængighed med signifikansniveau $\alpha = 0.05$. 2. **Hypoteser:** - $H_0$: Køn og sport er uafhængige. - $H_1$: Køn og sport er afhængige. 3. **Data:** \begin{tabular}{c|cc|c} & Dreng & Pige & Total \\ \hline Ja & 1590 & 1451 & 3041 \\ Nej & 116 & 146 & 262 \\ \hline Total & 1706 & 1597 & 3303 \end{tabular} 4. **Forventede værdier:** For hver celle beregnes den forventede værdi ved $$E_{ij} = \frac{(\text{række total}) \times (\text{kolonne total})}{\text{grand total}}$$ For eksempel for celle (Ja, Dreng): $$E_{11} = \frac{3041 \times 1706}{3303} = \frac{5189246}{3303} \approx 1570.5$$ Beregn alle forventede værdier: $$E = \begin{bmatrix} 1570.5 & 1470.5 \\ 135.5 & 126.5 \end{bmatrix}$$ 5. **Chi-i-anden teststatistik:** $$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$ Hvor $O$ er observerede værdier og $E$ forventede. Beregning: $$\chi^2 = \frac{(1590 - 1570.5)^2}{1570.5} + \frac{(1451 - 1470.5)^2}{1470.5} + \frac{(116 - 135.5)^2}{135.5} + \frac{(146 - 126.5)^2}{126.5}$$ $$= \frac{19.5^2}{1570.5} + \frac{(-19.5)^2}{1470.5} + \frac{(-19.5)^2}{135.5} + \frac{19.5^2}{126.5}$$ $$= \frac{380.25}{1570.5} + \frac{380.25}{1470.5} + \frac{380.25}{135.5} + \frac{380.25}{126.5}$$ $$\approx 0.242 + 0.259 + 2.805 + 3.005 = 6.311$$ 6. **Frihedsgrader (DOF):** $$\text{DOF} = (rækker - 1) \times (kolonner - 1) = (2-1) \times (2-1) = 1$$ 7. **Kritisk værdi:** Ved $\alpha = 0.05$ og 1 DOF er den kritiske værdi $\chi^2_{0.05,1} = 3.841$. 8. **Konklusion:** Da $6.311 > 3.841$, forkaster vi $H_0$. Der er statistisk signifikant evidens for, at køn og sport er afhængige ved 5% signifikansniveau. **Endeligt svar:** Hypotesen om uafhængighed forkastes, og vi konkluderer, at der er en afhængighed mellem køn og sport.