1. **بيان المشكلة:**
لدينا بيانات عدد أفران الغاز المباعة $X$ وعدد اسطوانات الغاز المباعة $Y$ ونريد:
- حساب معامل الارتباط بين $X$ و $Y$ وفسره.
- إيجاد معادلة خط الانحدار $Y$ على $X$.
- تقدير عدد الاسطوانات عند $X=8$ وحساب الخطأ في التقدير.
2. **حساب معامل الارتباط $r$:**
معامل الارتباط يُحسب بالصيغة:
$$r = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{(n\sum X^2 - (\sum X)^2)(n\sum Y^2 - (\sum Y)^2)}}$$
حيث $n$ عدد النقاط.
3. **حساب القيم المطلوبة:**
| $X$ | $Y$ | $XY$ | $X^2$ | $Y^2$ |
|-----|-----|------|-------|-------|
| 4 | 10 | 40 | 16 | 100 |
| 5 | 15 | 75 | 25 | 225 |
| 7 | 15 | 105 | 49 | 225 |
| 5 | 15 | 75 | 25 | 225 |
| 7 | 16 | 112 | 49 | 256 |
| 8 | 19 | 152 | 64 | 361 |
- $n=6$
- $\sum X = 4+5+7+5+7+8=36$
- $\sum Y = 10+15+15+15+16+19=90$
- $\sum XY = 40+75+105+75+112+152=559$
- $\sum X^2 = 16+25+49+25+49+64=228$
- $\sum Y^2 = 100+225+225+225+256+361=1392$
4. **تعويض في صيغة معامل الارتباط:**
$$r = \frac{6 \times 559 - 36 \times 90}{\sqrt{(6 \times 228 - 36^2)(6 \times 1392 - 90^2)}} = \frac{3354 - 3240}{\sqrt{(1368 - 1296)(8352 - 8100)}} = \frac{114}{\sqrt{72 \times 252}} = \frac{114}{\sqrt{18144}} = \frac{114}{134.72} \approx 0.846$$
5. **تفسير معامل الارتباط:**
القيمة $r \approx 0.846$ تعني وجود ارتباط إيجابي قوي بين عدد الأفران وعدد الاسطوانات المباعة.
6. **حساب معادلة خط الانحدار $Y$ على $X$:**
معادلة الخط: $$Y = a + bX$$
حيث:
$$b = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{3354 - 3240}{1368 - 1296} = \frac{114}{72} = 1.583$$
$$a = \bar{Y} - b \bar{X}$$
حيث:
$$\bar{X} = \frac{36}{6} = 6, \quad \bar{Y} = \frac{90}{6} = 15$$
إذاً:
$$a = 15 - 1.583 \times 6 = 15 - 9.5 = 5.5$$
معادلة الانحدار:
$$Y = 5.5 + 1.583X$$
7. **تقدير عدد الاسطوانات عند $X=8$:**
$$Y = 5.5 + 1.583 \times 8 = 5.5 + 12.664 = 18.164$$
8. **حساب الخطأ في التقدير:**
القيمة الحقيقية عند $X=8$ هي $Y=19$.
الخطأ = القيمة الحقيقية - القيمة المقدرة = $19 - 18.164 = 0.836$
**النتائج النهائية:**
- معامل الارتباط $r \approx 0.846$ (ارتباط إيجابي قوي).
- معادلة خط الانحدار: $$Y = 5.5 + 1.583X$$
- التقدير عند $X=8$ هو $18.164$ مع خطأ تقدير $0.836$.
Correlation Regression Faf742
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.