1. **Enunciat del problema:** Tenim una mostra de variables i.i.d. $X_1, \ldots, X_n$ amb densitat $$f(x; \theta) = (2\pi)^{-1/2} (\theta x)^{-1} \exp\left\{-\frac{1}{2} \left(\frac{\log x}{\theta}\right)^2\right\}, \quad x > 0, \theta > 0.$$ Es demanen diverses propietats i estimadors relacionats amb aquest model. 2. **(a) És un model regular de la família exponencial?** Un model pertany a la família exponencial si la densitat es pot escriure com $$f(x; \theta) = h(x) \exp\left( \eta(\theta) T(x) - A(\theta) \right).$$ En aquest cas, la densitat és $$f(x; \theta) = (2\pi)^{-1/2} \frac{1}{\theta x} \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{(\log x)^2}{\theta^2}\right).$$ No es pot expressar en forma lineal en funció de $\theta$ dins de l'exponent, ja que apareix $\theta^2$ al denominador dins de l'exponent i un factor $1/\theta$ fora de l'exponent. Per tant, **no és un model regular de la família exponencial.** 3. **(b) L'estadístic $T = \sum_{i=1}^n X_i$ és suficient i complet?** - Per suficiencia, cal veure si la funció de versemblança pot expressar-se només en funció de $T$ i $\theta$. La versemblança és $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \prod_{i=1}^n x_i^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2 \right).$$ Així, la versemblança depèn de $\sum (\log x_i)^2$, no de $\sum x_i$. Per tant, $T = \sum X_i$ **no és suficient**. - Sobre completitud, com que no és suficient, tampoc pot ser complet. 4. **(c) Estimador de màxima versemblança (EMV) de $\theta$ i biaix** La log-versemblança és $$\ell(\theta) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - n \log \theta - \sum_{i=1}^n \log x_i - \frac{1}{2 \theta^2} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2.$$ Derivem respecte $\theta$: $$\frac{d\ell}{d\theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2 = 0.$$ Multipliquem per $\theta^3$: $$-n \theta^2 + \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2 = 0 \implies \hat{\theta}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2.$$ Per tant, $$\hat{\theta} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2}.$$ Aquest estimador és consistent però no és insensible al biaix, ja que l'arrel quadrada d'una mitjana d'una variable aleatòria no és un estimador insensible. 5. **(d) Cota de Cramér-Rao per estimació sense biaix de $\theta$** Cal calcular la informació de Fisher: La derivada log-versemblança per una mostra és $$\frac{\partial}{\partial \theta} \log f(x; \theta) = -\frac{1}{\theta} + \frac{(\log x)^2}{\theta^3}.$$ La informació de Fisher per una observació és $$I(\theta) = E\left[ \left( \frac{\partial}{\partial \theta} \log f(X; \theta) \right)^2 \right].$$ Cal calcular $$E\left[ \left(-\frac{1}{\theta} + \frac{(\log X)^2}{\theta^3} \right)^2 \right] = E\left[ \frac{1}{\theta^2} - \frac{2 (\log X)^2}{\theta^4} + \frac{(\log X)^4}{\theta^6} \right].$$ Sabem que $Y = \log X$ té distribució normal $N(0, \theta^2)$ (per la forma de la densitat). Per una normal $N(0, \theta^2)$: - $E[Y^2] = \theta^2$ - $E[Y^4] = 3 \theta^4$ Substituïm: $$I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2}{\theta^4} E[Y^2] + \frac{1}{\theta^6} E[Y^4] = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2}{\theta^4} \theta^2 + \frac{3}{\theta^6} \theta^4 = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2}{\theta^2} + \frac{3}{\theta^2} = \frac{2}{\theta^2}.$$ Per $n$ observacions independents, $$I_n(\theta) = n I(\theta) = \frac{2n}{\theta^2}.$$ La cota de Cramér-Rao per la variança d'un estimador sense biaix és $$\mathrm{Var}(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{I_n(\theta)} = \frac{\theta^2}{2n}.$$ 6. **(e) Estimador pel mètode dels moments i si és UMV** Com que $Y = \log X \sim N(0, \theta^2)$, el segon moment de $Y$ és $$E[Y^2] = \theta^2.$$ Podem estimar $\theta^2$ per la mostra de $Y_i = \log X_i$: $$\hat{\theta}^2_{MM} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2,$$ igual que l'EMV però sense l'arrel quadrada. Per tant, $$\hat{\theta}_{MM} = \sqrt{\hat{\theta}^2_{MM}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\log x_i)^2},$$ que coincideix amb l'EMV. Aquest estimador no és UMV perquè no és insensible i no compleix la cota de Cramér-Rao. --- **Resposta resumida:** - (a) No és model regular de la família exponencial. - (b) $T = \sum X_i$ no és suficient ni complet. - (c) EMV: $\hat{\theta} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (\log x_i)^2}$, té biaix. - (d) Cota Cramér-Rao: $\mathrm{Var}(\hat{\theta}) \geq \frac{\theta^2}{2n}$. - (e) Estimador moments igual a EMV, no és UMV.