1. Állítsuk fel a problémát: A konzerv töltőtömege normális eloszlású, várható értéke $\mu=100$ g, és a töltőtömegek 16%-a kisebb, mint 99,1 g. Meg kell határoznunk a szórást $\sigma$, majd kiszámolni, hogy a tömegek hány százaléka tér el a várható értéktől kevesebb, mint $2\sigma$-val, végül ábrázolni a sűrűségfüggvényt és a valószínűséget. 2. A normális eloszlás tulajdonsága, hogy ha $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, akkor a valószínűségi változó $X$ sűrűségfüggvénye: $$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ 3. (a) A szórás meghatározása a megadott valószínűség alapján: Tudjuk, hogy $P(X < 99.1) = 0.16$. Mivel nem használhatjuk a standard normális eloszlást (Z-t), keressük meg $k$-t, ahol $k = \frac{99.1 - 100}{\sigma} = \frac{-0.9}{\sigma}$, és $P(X < 99.1) = P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} < k\right) = 0.16$. A normális eloszlás szimmetriája miatt a 16%-os kvantilis körülbelül $-1$ szórásnyi távolság a várható értéktől, tehát: $$k \approx -1$$ Így: $$-1 = \frac{-0.9}{\sigma} \Rightarrow \sigma = 0.9$$ 4. (b) A kérdés: a tömegek hány százaléka tér el a várható értéktől kevesebb, mint $2\sigma$-val? Ez azt jelenti, hogy kiszámoljuk: $$P(|X - \mu| < 2\sigma) = P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma)$$ A normális eloszlás tulajdonságai szerint a valószínűség, hogy egy érték a várható értéktől $2\sigma$-on belül van, körülbelül 95,4%. Tehát: $$P(|X - 100| < 1.8) \approx 0.954$$ 5. (c) A sűrűségfüggvény ábrázolása: A sűrűségfüggvény: $$f(x) = \frac{1}{0.9 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-100)^2}{2 \times 0.9^2}}$$ A grafikonon a bal oldali terület $P(X < 99.1) = 0.16$ ki van emelve, valamint a középső terület $P(100 - 1.8 < X < 100 + 1.8) = 0.954$ is ki van emelve. Összefoglalva: - Szórás: $\sigma = 0.9$ g - A tömegek 95,4%-a tér el a várható értéktől kevesebb, mint $2\sigma$-val - A sűrűségfüggvény a fent megadott képlettel ábrázolható Ez a megoldás Z-transzformáció nélkül, a normális eloszlás tulajdonságait és közelítő értékeket használva készült.