1. مسئله: توزیع نمره‌های ارزیابی کارمندان نرمال با میانگین $\mu=15$ و انحراف معیار $\sigma=3$ است. نمونه‌ای تصادفی به حجم $n=9$ انتخاب شده است. می‌خواهیم احتمال اینکه میانگین نمونه حداقل ۱۸ باشد را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - توزیع نمونه‌ای میانگین از توزیع نرمال با همان میانگین و انحراف معیار نمونه‌ای $\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ پیروی می‌کند. - برای محاسبه احتمال، ابتدا مقدار $Z$ را با فرمول $$Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma_{\bar{x}}}$$ محاسبه می‌کنیم. - سپس از جدول توزیع نرمال استاندارد مقدار احتمال متناظر را می‌یابیم. 3. محاسبات: - انحراف معیار نمونه‌ای: $$\sigma_{\bar{x}}=\frac{3}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1$$ - مقدار $Z$ برای $\bar{x}=18$: $$Z=\frac{18-15}{1}=3$$ 4. احتمال اینکه میانگین نمونه حداقل ۱۸ باشد یعنی: $$P(\bar{x} \geq 18)=P(Z \geq 3)$$ از جدول توزیع نرمال استاندارد، $$P(Z \geq 3)=1-P(Z \leq 3)=1-0.9987=0.0013$$ 5. نتیجه: احتمال اینکه میانگین نمره ارزیابی نمونه حداقل ۱۸ باشد برابر است با $0.0013$ یا $0.13\%$. این احتمال بسیار کم است، بنابراین میانگین نمونه ۱۸ یا بیشتر به ندرت اتفاق می‌افتد.