1. **Calculer l'espérance mathématique et la variance de X** Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On sait que: $$\mathbb{E}[X] = \lambda$$ $$\mathrm{Var}(X) = \lambda$$ Donc l'espérance mathématique et la variance de $X$ sont toutes deux égales à $\lambda$. 2. **Estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de $\lambda$** Pour un échantillon $X_1, X_2, ..., X_n$ de variables indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Poisson($\lambda$), la fonction de vraisemblance est: $$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{X_i}}{X_i!}$$ Le logarithme de la vraisemblance est: $$\ell(\lambda) = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(X_i!)$$ Pour maximiser $\ell(\lambda)$, on dérive par rapport à $\lambda$ et on égalise à zéro: $$\frac{d\ell}{d\lambda} = -n + \frac{\sum X_i}{\lambda} = 0$$ D'où: $$\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ C'est la moyenne empirique de l'échantillon. 3. **Efficacité de l'estimateur $\hat{\lambda}$** L'estimateur $\hat{\lambda}$ est sans biais car $\mathbb{E}[\hat{\lambda}] = \lambda$. De plus, il atteint la borne de Cramér-Rao, donc il est efficace. --- 4. **Intervalle de confiance pour la moyenne d'un fromage (loi normale)** Données: - Taille de l'échantillon $n=17$ - Moyenne observée $\bar{x} = 253.5$ - Écart-type corrigé $s = 2.912$ - Niveau de confiance $95\%$ (donc $\alpha=0.05$) Formule de l'intervalle de confiance pour la moyenne avec écart-type estimé: $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ On cherche la valeur critique $t_{0.025,16}$ (de la loi de Student à 16 degrés de liberté). Cette valeur est environ 2.12. Calcul de la marge d'erreur: $$ME = 2.12 \times \frac{2.912}{\sqrt{17}} = 2.12 \times \frac{2.912}{4.123} \approx 2.12 \times 0.706 = 1.496$$ Donc l'intervalle de confiance est: $$[253.5 - 1.496, 253.5 + 1.496] = [252.004, 254.996]$$ --- 5. **Intervalle de confiance pour la proportion de mâles** Données: - Taille de l'échantillon $n=400$ - Nombre de mâles $x=206$ - Proportion observée $\hat{p} = \frac{206}{400} = 0.515$ - Niveau de confiance $95\%$ (donc $z_{\alpha/2} = 1.96$) Formule de l'intervalle de confiance pour une proportion: $$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ Calcul de l'erreur standard: $$SE = \sqrt{\frac{0.515 \times (1-0.515)}{400}} = \sqrt{\frac{0.515 \times 0.485}{400}} = \sqrt{0.000624} = 0.025$$ Marge d'erreur: $$ME = 1.96 \times 0.025 = 0.049$$ Intervalle de confiance: $$[0.515 - 0.049, 0.515 + 0.049] = [0.466, 0.564]$$ **Résumé final:** - Espérance et variance de $X$ (Poisson): $\lambda$ - EMV de $\lambda$: $\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum X_i$ - $\hat{\lambda}$ est efficace - Intervalle de confiance masse fromage 95%: $[252.004, 254.996]$ - Intervalle de confiance proportion mâles 95%: $[0.466, 0.564]$