1. مسئله: مقایسه دو گروه نمونه با اندازه‌های نمونه $n_1=14$ و $n_2=15$، میانگین‌های نمونه $\bar{X}_1=43$ و $\bar{X}_2=\frac{40}{7}$ و انحراف معیارهای نمونه $S_1=1$ و $S_2=\frac{1}{3}$ است. 2. فرمول‌های مهم برای تحلیل آماری این داده‌ها شامل: - میانگین نمونه: $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ - انحراف معیار نمونه: $S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$ - برای مقایسه میانگین دو گروه مستقل، از آزمون t استفاده می‌شود که فرمول آماره t به صورت زیر است: $$ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} $$ 3. توضیح: این فرمول اختلاف میانگین دو گروه را نسبت به خطای استاندارد تفاوت میانگین‌ها می‌سنجد. 4. محاسبه و جایگذاری مقادیر داده شده: - $S_1^2 = 1^2 = 1$ - $S_2^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ - خطای استاندارد تفاوت میانگین‌ها: $$ \sqrt{\frac{1}{14} + \frac{1/9}{15}} = \sqrt{\frac{1}{14} + \frac{1}{135}} = \sqrt{0.07143 + 0.00741} = \sqrt{0.07884} \approx 0.2807 $$ - اختلاف میانگین‌ها: $$ 43 - \frac{40}{7} = 43 - 5.714 = 37.286 $$ - آماره t: $$ t = \frac{37.286}{0.2807} \approx 132.85 $$ 5. نتیجه: مقدار t بسیار بزرگ است که نشان‌دهنده اختلاف معنی‌دار بین دو گروه است. این مراحل به شما کمک می‌کند تا با استفاده از فرمول‌های آماری، تفاوت میانگین دو گروه را تحلیل کنید.