1. **Problemstellung:** Wir sollen für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X \sim \text{Bin}(n=900, p=0{,}68)$ den Erwartungswert $\mu$ berechnen und dann die kleinste natürliche Zahl $k$ finden, sodass $$P(\mu - k \leq X \leq \mu) \geq 0{,}3$$ gilt. 2. **Formel für den Erwartungswert:** Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist $$\mu = n \cdot p$$ 3. **Berechnung des Erwartungswerts:** $$\mu = 900 \times 0{,}68 = 612$$ 4. **Interpretation der Wahrscheinlichkeit:** Wir suchen das kleinste $k \in \mathbb{N}$, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ im Intervall von $\mu - k$ bis $\mu$ liegt, mindestens 30 % beträgt. 5. **Vorgehen zur Berechnung von $k$:** - Da $X$ binomialverteilt ist, können wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung berechnen. - Wir prüfen für aufsteigende Werte von $k$ die Summe $$P(\mu - k \leq X \leq \mu) = \sum_{x=\mu - k}^{\mu} P(X = x)$$ - Sobald diese Summe $\geq 0{,}3$ ist, haben wir das gesuchte $k$ gefunden. 6. **Hinweis zur Berechnung:** - Für große $n$ kann man die Binomialverteilung mit der Normalverteilung approximieren: $$X \approx N(\mu, \sigma^2)$$ mit $$\sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{900 \times 0{,}68 \times 0{,}32} \approx 13{,}9$$ - Dann gilt: $$P(\mu - k \leq X \leq \mu) \approx P\left(\frac{\mu - k - \mu}{\sigma} \leq Z \leq 0\right) = P\left(-\frac{k}{\sigma} \leq Z \leq 0\right)$$ wobei $Z$ standardnormalverteilt ist. 7. **Berechnung mit der Normalapproximation:** - Gesucht ist $k$ mit $$P(-\frac{k}{13{,}9} \leq Z \leq 0) \geq 0{,}3$$ - Da $P(Z \leq 0) = 0{,}5$, gilt $$P(-\frac{k}{13{,}9} \leq Z \leq 0) = \Phi(0) - \Phi\left(-\frac{k}{13{,}9}\right) = 0{,}5 - (1 - \Phi(\frac{k}{13{,}9})) = \Phi\left(\frac{k}{13{,}9}\right) - 0{,}5$$ - Also $$\Phi\left(\frac{k}{13{,}9}\right) - 0{,}5 \geq 0{,}3 \Rightarrow \Phi\left(\frac{k}{13{,}9}\right) \geq 0{,}8$$ - Aus der Standardnormalverteilungstabelle ist $\Phi(0{,}84) \approx 0{,}8$. 8. **Lösung für $k$:** $$\frac{k}{13{,}9} \geq 0{,}84 \Rightarrow k \geq 0{,}84 \times 13{,}9 \approx 11{,}7$$ Da $k$ eine natürliche Zahl sein soll, ist die kleinste mögliche Zahl $$k = 12$$ **Antwort:** Der Erwartungswert ist $\mu = 612$ und die kleinste natürliche Zahl $k$, sodass $$P(\mu - k \leq X \leq \mu) \geq 0{,}3$$ gilt, ist $k = 12$.