1. **Problem statement:** Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $n=25$ und $p=0{,}2$. 2. **Formel:** Die Binomialverteilung ist definiert als $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ für $k=0,1,\ldots,n$. 3. **Wichtige Regeln:** - $P(X \leq k)$ ist die kumulative Wahrscheinlichkeit, also die Summe von $P(X=0)$ bis $P(X=k)$. - $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ist der Binomialkoeffizient. 4. **Berechnung a) $P(X \leq 3)$:** $$P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^3 \binom{25}{k} (0{,}2)^k (0{,}8)^{25-k}$$ 5. **Berechnung b) $P(X \leq 6)$:** $$P(X \leq 6) = \sum_{k=0}^6 \binom{25}{k} (0{,}2)^k (0{,}8)^{25-k}$$ 6. **Berechnung c) $P(X = 7)$:** $$P(X=7) = \binom{25}{7} (0{,}2)^7 (0{,}8)^{18}$$ 7. **Berechnung d) $P(X \leq 4)$:** $$P(X \leq 4) = \sum_{k=0}^4 \binom{25}{k} (0{,}2)^k (0{,}8)^{25-k}$$ 8. **Erklärung:** Diese Wahrscheinlichkeiten können mit einem Taschenrechner, Tabellen oder Software berechnet werden, da die Summen viele Terme enthalten. 9. **Zusammenfassung:** - $P(X \leq 3)$, $P(X \leq 6)$, $P(X=7)$ und $P(X \leq 4)$ sind kumulative bzw. einzelne Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit $n=25$, $p=0{,}2$. **Endergebnis:** Die Wahrscheinlichkeiten sind die oben angegebenen Summen bzw. der einzelne Term für $P(X=7)$.