1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0{,}6$. Wir sollen Wahrscheinlichkeiten aus dem Histogramm näherungsweise bestimmen und anschließend berechnen und vergleichen. 2. **Formeln und Regeln:** Die Binomialwahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge ist gegeben durch: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Die kumulierte Verteilung ist: $$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k P(X=i)$$ Wichtig: $P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \leq k-1)$ und $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X < a) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$. 3. **Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:** - $P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^3 \binom{10}{k} 0{,}6^k 0{,}4^{10-k}$ - $P(X=6) = \binom{10}{6} 0{,}6^6 0{,}4^4$ - $P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) = 1 - \sum_{k=0}^7 \binom{10}{k} 0{,}6^k 0{,}4^{10-k}$ - $P(X < 8) = P(X \leq 7)$ - $P(5 \leq X \leq 8) = P(X \leq 8) - P(X \leq 4)$ - $P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)$ 4. **Zwischenschritte mit konkreten Werten:** Berechnen wir einige Werte mit Binomialkoeffizienten und Potenzen: $$P(X=6) = \binom{10}{6} 0{,}6^6 0{,}4^4 = 210 \times 0{,}0467 \times 0{,}0256 \approx 0{,}2511$$ Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten verwenden wir Summen oder Taschenrechner: $$P(X \leq 3) \approx 0{,}054$$ $$P(X \leq 7) \approx 0{,}945$$ $$P(X \leq 8) \approx 0{,}989$$ $$P(X \leq 4) \approx 0{,}166$$ Daraus folgt: $$P(X \geq 8) = 1 - 0{,}945 = 0{,}055$$ $$P(X < 8) = 0{,}945$$ $$P(5 \leq X \leq 8) = 0{,}989 - 0{,}166 = 0{,}823$$ $$P(X > 3) = 1 - 0{,}054 = 0{,}946$$ 5. **Histogramm der kumulierten Verteilung:** Das Histogramm zeigt für jeden Wert $k$ die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$, die mit steigendem $k$ zunimmt und bei $k=10$ den Wert 1 erreicht. 6. **Werte ordnen:** ① $P(X \leq 5) \approx 0{,615}$ ② $P(X > 6) = 1 - P(X \leq 6) \approx 1 - 0{,833} = 0{,167}$ ③ $P(4 < X < 8) = P(5 \leq X \leq 7) = P(X \leq 7) - P(X \leq 4) = 0{,}945 - 0{,}166 = 0{,}779$ ④ $1 - P(X=6) = 1 - 0{,}2511 = 0{,}7489$ Aufsteigend sortiert: $$P(X > 6) = 0{,}167 < P(X \leq 5) = 0{,}615 < 1 - P(X=6) = 0{,}7489 < P(4 < X < 8) = 0{,}779$$ 7. **Histogramm mit $n=10$ und $p=0{,}455$:** Die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ werden mit der Formel neu berechnet und als Histogramm dargestellt, wobei die Verteilung bei kleinerem $p$ nach links verschoben ist. **Endergebnis:** - $P(X \leq 3) \approx 0{,054}$ - $P(X=6) \approx 0{,251}$ - $P(X \geq 8) \approx 0{,055}$ - $P(X < 8) \approx 0{,945}$ - $P(5 \leq X \leq 8) \approx 0{,823}$ - $P(X > 3) \approx 0{,946}$ - Aufsteigende Reihenfolge der Werte aus d): $0{,167} < 0{,615} < 0{,749} < 0{,779}$