1. **Problemstellung:** Wir sollen prüfen, ob der Anteil der Sonnensegel mit Materialfehlern nach Einführung eines neuen Verfahrens gestiegen ist. 2. **Hypothesen:** - Nullhypothese $H_0$: $p \leq 0{,}02$ (Anteil höchstens 2 %) - Alternativhypothese $H_1$: $p > 0{,}02$ (Anteil ist gestiegen) 3. **Gegebene Daten:** - Stichprobengröße $n = 150$ - Anzahl fehlerhafte Segel $x = 8$ - Signifikanzniveau $\alpha = 0{,}05$ 4. **Berechnung des Stichprobenanteils:** $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{8}{150} = 0{,}0533$$ 5. **Teststatistik:** Da $n$ groß genug ist, verwenden wir den z-Test für Anteile: $$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ mit $p_0 = 0{,}02$. 6. **Einsetzen:** $$z = \frac{0{,}0533 - 0{,}02}{\sqrt{\frac{0{,}02 \cdot 0{,}98}{150}}} = \frac{0{,}0333}{\sqrt{\frac{0{,}0196}{150}}} = \frac{0{,}0333}{\sqrt{0{,}0001307}} = \frac{0{,}0333}{0{,}01143} \approx 2{,}91$$ 7. **Kritischer Wert:** Für ein einseitiges Test bei $\alpha=0{,}05$ ist der kritische z-Wert $z_{krit} = 1{,}645$. 8. **Entscheidung:** Da $z = 2{,}91 > 1{,}645$, lehnen wir die Nullhypothese ab. 9. **Fazit:** Es gibt genügend Beweise auf dem 5%-Niveau, dass der Anteil der fehlerhaften Sonnensegel gestiegen ist.