1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Normalverteilung mit Mittelwert $\mu = 416{,}26$ und Standardabweichung $\sigma = 1{,}75$. Es werden zufällig 10 Packungen Pistazien entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Packungen mehr als 416 Pistazien enthalten. 2. **Formel und Vorgehen:** Wir betrachten die Anzahl der Packungen mit mehr als 416 Pistazien als eine Binomialverteilung $X \sim \mathrm{Bin}(n=10, p)$, wobei $p$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Packung mehr als 416 Pistazien enthält. 3. **Berechnung von $p$:** Zuerst standardisieren wir den Wert 416: $$Z = \frac{416 - \mu}{\sigma} = \frac{416 - 416{,}26}{1{,}75} = \frac{-0{,}26}{1{,}75} \approx -0{,}1486$$ 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung mehr als 416 Pistazien enthält, ist $$p = P(X > 416) = P(Z > -0{,}1486) = 1 - P(Z \leq -0{,}1486)$$ 5. Aus der Standardnormalverteilungstabelle oder mit einem Rechner finden wir $$P(Z \leq -0{,}1486) \approx 0{,}4410$$ 6. Somit ist $$p = 1 - 0{,}4410 = 0{,}5590$$ 7. **Gesuchte Wahrscheinlichkeit:** $P(X \geq 5)$ für $X \sim \mathrm{Bin}(10, 0{,}5590)$. 8. Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich als $$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \sum_{k=0}^4 \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}$$ 9. Berechnung der einzelnen Summanden: - $\binom{10}{0} p^0 (1-p)^{10} = (1-0{,}5590)^{10} = 0{,}4410^{10} \approx 0{,}0003$ - $\binom{10}{1} p^1 (1-p)^9 = 10 \times 0{,}5590 \times 0{,}4410^9 \approx 0{,}0040$ - $\binom{10}{2} p^2 (1-p)^8 = 45 \times 0{,}5590^2 \times 0{,}4410^8 \approx 0{,}0277$ - $\binom{10}{3} p^3 (1-p)^7 = 120 \times 0{,}5590^3 \times 0{,}4410^7 \approx 0{,}0911$ - $\binom{10}{4} p^4 (1-p)^6 = 210 \times 0{,}5590^4 \times 0{,}4410^6 \approx 0{,}1813$ 10. Summe: $$P(X \leq 4) \approx 0{,}0003 + 0{,}0040 + 0{,}0277 + 0{,}0911 + 0{,}1813 = 0{,}3044$$ 11. Endergebnis: $$P(X \geq 5) = 1 - 0{,}3044 = 0{,}6956$$ **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 der 10 Packungen mehr als 416 Pistazien enthalten, beträgt ungefähr $0{,}696$ oder 69,6%.