1. Problemstellung: Wir sollen den Stichprobenumfang $n$ berechnen, wenn die Länge des Konfidenzintervalls vorgegeben ist. 2. Formel: Die Länge $L$ eines Konfidenzintervalls für den Mittelwert bei bekannter Standardabweichung $\sigma$ und Konfidenzniveau $1-\alpha$ ist gegeben durch: $$L = 2 \cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Hierbei ist $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ der z-Wert der Standardnormalverteilung für das gegebene Konfidenzniveau. 3. Umstellen nach $n$: $$L = 2 z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$\Rightarrow \sqrt{n} = 2 z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{L}$$ $$\Rightarrow n = \left(2 z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{L}\right)^2$$ 4. Erklärung: Um den Stichprobenumfang zu bestimmen, quadrieren wir die rechte Seite, da $n$ unter der Wurzel steht. Die Länge des Intervalls $L$ ist also umgekehrt proportional zur Wurzel des Stichprobenumfangs. 5. Zusammenfassung: Die Formel für den Stichprobenumfang bei gegebener Intervalllänge lautet: $$n = \frac{4 z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2 \sigma^2}{L^2}$$ Damit kann man $n$ berechnen, wenn $\sigma$, $L$ und das Konfidenzniveau bekannt sind.