Karakter Statistikk F6F0Fe

1. **Stating the problem:** Vi har to klasser, 1A og 1B, med antall elever fordelt på karakterer 2, 3, 4, 5 og 6. Vi skal finne a) totalt antall elever i hver klasse, b) gjennomsnitt og standardavvik for hver klasse, og c) diskutere hvilken klasse som gjør det best i norsk basert på dataene. 2. **Formler og regler:** - Gjennomsnitt (middelverdi) $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$, hvor $f_i$ er antall elever med karakter $x_i$. - Varians $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$. - Standardavvik $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$. 3. **Data for klasse 1A:** Karakterer $x_i$: 2, 3, 4, 5, 6 Antall $f_i$: 6, 8, 6, 6, 4 4. **Data for klasse 1B:** Karakterer $x_i$: 2, 3, 4, 5, 6 Antall $f_i$: 3, 5, 13, 4, 2 --- ### a) Totalt antall elever - Klasse 1A: $N_A = 6 + 8 + 6 + 6 + 4 = 30$ - Klasse 1B: $N_B = 3 + 5 + 13 + 4 + 2 = 27$ --- ### b) Gjennomsnitt og standardavvik **Klasse 1A:** - Gjennomsnitt: $$\bar{x}_A = \frac{6\cdot2 + 8\cdot3 + 6\cdot4 + 6\cdot5 + 4\cdot6}{30} = \frac{12 + 24 + 24 + 30 + 24}{30} = \frac{114}{30} = 3.8$$ - Varians: $$\sigma_A^2 = \frac{6(2-3.8)^2 + 8(3-3.8)^2 + 6(4-3.8)^2 + 6(5-3.8)^2 + 4(6-3.8)^2}{30}$$ $$= \frac{6(1.8^2) + 8(0.8^2) + 6(0.2^2) + 6(1.2^2) + 4(2.2^2)}{30}$$ $$= \frac{6(3.24) + 8(0.64) + 6(0.04) + 6(1.44) + 4(4.84)}{30}$$ $$= \frac{19.44 + 5.12 + 0.24 + 8.64 + 19.36}{30} = \frac{52.8}{30} = 1.76$$ - Standardavvik: $$\sigma_A = \sqrt{1.76} \approx 1.33$$ **Klasse 1B:** - Gjennomsnitt: $$\bar{x}_B = \frac{3\cdot2 + 5\cdot3 + 13\cdot4 + 4\cdot5 + 2\cdot6}{27} = \frac{6 + 15 + 52 + 20 + 12}{27} = \frac{105}{27} \approx 3.89$$ - Varians: $$\sigma_B^2 = \frac{3(2-3.89)^2 + 5(3-3.89)^2 + 13(4-3.89)^2 + 4(5-3.89)^2 + 2(6-3.89)^2}{27}$$ $$= \frac{3(1.89^2) + 5(0.89^2) + 13(0.11^2) + 4(1.11^2) + 2(2.11^2)}{27}$$ $$= \frac{3(3.57) + 5(0.79) + 13(0.012) + 4(1.23) + 2(4.45)}{27}$$ $$= \frac{10.71 + 3.95 + 0.16 + 4.92 + 8.90}{27} = \frac{28.64}{27} \approx 1.06$$ - Standardavvik: $$\sigma_B = \sqrt{1.06} \approx 1.03$$ --- ### c) Diskusjon - Klasse 1A har 30 elever, klasse 1B har 27 elever. - Gjennomsnittskarakteren er omtrent lik: 3.8 for 1A og 3.89 for 1B. - Standardavviket er litt høyere i 1A (1.33) enn i 1B (1.03), noe som betyr at karakterene i 1A er litt mer spredt. - Klasse 1B har flere elever med karakter 4, mens 1A har flere elever med karakter 3 og 5. - Basert på gjennomsnitt og spredning kan vi si at klasse 1B gjør det litt bedre samlet i norsk, siden de har høyere gjennomsnitt og lavere variasjon. **Svar:** - a) Klasse 1A har 30 elever, klasse 1B har 27 elever. - b) Klasse 1A: gjennomsnitt 3.8, standardavvik 1.33. Klasse 1B: gjennomsnitt 3.89, standardavvik 1.03. - c) Klasse 1B gjør det litt bedre i norsk basert på høyere gjennomsnitt og lavere spredning i karakterene.