1. **Énoncé du problème :** Nous avons une distribution statistique des dépenses annuelles de 100 étudiants répartis en classes d'intervalles avec des effectifs partiels inconnus $n_1$ et $a$. La moyenne est donnée comme 1300 dinars. 2. **Déterminer la population statistique, le caractère étudié et sa nature :** - Population statistique : l'ensemble des 100 étudiants. - Caractère étudié : la dépense annuelle en dinars. - Nature du caractère : quantitative continue (dépenses mesurées sur un intervalle). 3. **Calculer $n_1$ et $a$ sachant que la moyenne est 1300 :** - Moyenne $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$ où $x_i$ est le centre de chaque classe. - Centres des classes : $c_1 = \frac{0+400}{2} = 200$ $c_2 = \frac{400+800}{2} = 600$ $c_3 = \frac{800+1200}{2} = 1000$ $c_4 = \frac{1200+1600}{2} = 1400$ $c_5 = \frac{1600+a}{2}$ $c_6 = \frac{a+3000}{2}$ $c_7 = \frac{3000+4200}{2} = 3600$ - Effectifs : $n_1, 25, 24, 17, 14, 11, 3$ avec $\sum n_i = 100$ donc $$n_1 + 25 + 24 + 17 + 14 + 11 + 3 = 100 \Rightarrow n_1 + 94 = 100 \Rightarrow n_1 = 6$$ - Moyenne : $$1300 = \frac{6 \times 200 + 25 \times 600 + 24 \times 1000 + 17 \times 1400 + 14 \times \frac{1600 + a}{2} + 11 \times \frac{a + 3000}{2} + 3 \times 3600}{100}$$ - Multiplier par 100 : $$130000 = 1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 7(1600 + a) + 5.5(a + 3000) + 10800$$ - Calculer les termes constants : $$1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 7 \times 1600 + 5.5 \times 3000 + 10800 = 1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 11200 + 16500 + 10800 = 102500$$ - Regrouper les termes en $a$ : $$130000 = 102500 + 7a + 5.5a = 102500 + 12.5a$$ - Isoler $a$ : $$130000 - 102500 = 12.5a \Rightarrow 27500 = 12.5a \Rightarrow a = \frac{27500}{12.5} = 2200$$ 4. **Histogramme :** Avec $n_1 = 6$ et $a = 2200$, les classes et effectifs sont complets. 5. **Classe modale et mode :** - Classe modale : celle avec l'effectif le plus élevé, ici $[400, 800[$ avec 25 étudiants. - Mode approximé par la formule : $$Mode = L + \frac{(f_m - f_{m-1})}{(2f_m - f_{m-1} - f_{m+1})} \times h$$ où $L = 400$ (borne inférieure de la classe modale), $f_m = 25$, $f_{m-1} = 6$, $f_{m+1} = 24$, $h = 400$ (largeur de la classe). - Calcul : $$Mode = 400 + \frac{25 - 6}{2 \times 25 - 6 - 24} \times 400 = 400 + \frac{19}{50 - 30} \times 400 = 400 + \frac{19}{20} \times 400 = 400 + 380 = 780$$ - Interprétation : la dépense la plus fréquente est environ 780 dinars. 6. **Asymétrie de la distribution :** - La moyenne (1300) est supérieure à la médiane (estimée autour de la classe modale), indiquant une asymétrie positive (queue à droite). 7. **Intervalle interquartile :** - Calcul des quartiles par interpolation dans les classes. - $Q_1$ correspond à la 25e valeur, $Q_3$ à la 75e valeur. - Cumul des effectifs : $6, 31, 55, 72, 86, 97, 100$ - $Q_1 = 25$e valeur dans la classe $[400, 800[$ (car 31 > 25) $$Q_1 = 400 + \frac{25 - 6}{25} \times 400 = 400 + \frac{19}{25} \times 400 = 400 + 304 = 704$$ - $Q_3 = 75$e valeur dans la classe $[1600, 2200[$ (car 72 < 75 < 86) $$Q_3 = 1600 + \frac{75 - 72}{14} \times 600 = 1600 + \frac{3}{14} \times 600 = 1600 + 128.57 = 1728.57$$ - Intervalle interquartile : $$IQR = Q_3 - Q_1 = 1728.57 - 704 = 1024.57$$ - Interprétation : la moitié centrale des dépenses annuelles s'étend sur environ 1025 dinars, indiquant une dispersion modérée.