1. **Énoncé du problème :** Nous avons une distribution statistique de 100 étudiants selon leurs dépenses annuelles en dinars, réparties en classes d'intervalles avec des effectifs partiels et inconnus. On cherche à déterminer plusieurs caractéristiques et calculs liés à cette distribution. 2. **Population statistique, caractère étudié et nature :** - Population statistique : l'ensemble des 100 étudiants. - Caractère étudié : la dépense annuelle en dinars. - Nature du caractère : quantitative continue (car les dépenses sont mesurées sur un intervalle continu). 3. **Calcul des valeurs de $n_1$ et $a$ sachant que la moyenne est 1300 :** - On note les classes et effectifs : $n_1$ pour [0,400[, 25 pour [400,800[, 24 pour [800,1200[, 17 pour [1200,1600[, 14 pour [1600,a[, 11 pour [a,3000[, 3 pour [3000,4200[. - La somme des effectifs est 100 : $$n_1 + 25 + 24 + 17 + 14 + 11 + 3 = 100$$ $$n_1 + 94 = 100$$ $$n_1 = 6$$ - Pour calculer $a$, on utilise la moyenne pondérée : Moyenne $\bar{x} = 1300 = \frac{\sum n_i x_i}{100}$ où $x_i$ est le centre de chaque classe. - Centres des classes : [0,400[ : $200$ [400,800[ : $600$ [800,1200[ : $1000$ [1200,1600[ : $1400$ [1600,a[ : $\frac{1600 + a}{2}$ [a,3000[ : $\frac{a + 3000}{2}$ [3000,4200[ : $3600$ - Calcul de la somme pondérée : $$6 \times 200 + 25 \times 600 + 24 \times 1000 + 17 \times 1400 + 14 \times \frac{1600 + a}{2} + 11 \times \frac{a + 3000}{2} + 3 \times 3600 = 1300 \times 100 = 130000$$ - Calcul intermédiaire : $$1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 7(1600 + a) + 5.5(a + 3000) + 10800 = 130000$$ - Simplification : $$1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 11200 + 7a + 5.5a + 16500 + 10800 = 130000$$ $$1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 11200 + 16500 + 10800 + (7 + 5.5)a = 130000$$ $$102500 + 12.5a = 130000$$ - Résolution pour $a$ : $$12.5a = 130000 - 102500 = 27500$$ $$a = \frac{27500}{12.5} = 2200$$ 4. **Histogramme :** - Avec $n_1 = 6$ et $a = 2200$, les classes et effectifs sont : [0,400[: 6 [400,800[: 25 [800,1200[: 24 [1200,1600[: 17 [1600,2200[: 14 [2200,3000[: 11 [3000,4200[: 3 5. **Classe modale et mode :** - La classe modale est celle avec l'effectif le plus élevé : [400,800[ avec 25 étudiants. - Calcul du mode par interpolation : $$L = 400, \quad h = 400, \quad f_m = 25, \quad f_1 = 6, \quad f_2 = 24$$ $$\text{Mode} = L + \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \times h = 400 + \frac{25 - 6}{2 \times 25 - 6 - 24} \times 400$$ $$= 400 + \frac{19}{50 - 30} \times 400 = 400 + \frac{19}{20} \times 400 = 400 + 380 = 780$$ - Interprétation : la dépense la plus fréquente est environ 780 dinars. 6. **Asymétrie de la distribution :** - La moyenne (1300) est supérieure à la médiane (estimée proche de la classe modale), indiquant une asymétrie positive (queue à droite). 7. **Intervalle interquartile :** - Calcul des effectifs cumulés : $6, 31, 55, 72, 86, 97, 100$ - $Q_1$ correspond à la 25e valeur : dans la classe [400,800[. - $Q_3$ correspond à la 75e valeur : dans la classe [1600,2200[. - Calcul de $Q_1$ : $$L = 400, h = 400, F = 6, f = 25$$ $$Q_1 = L + \frac{25 - F}{f} \times h = 400 + \frac{25 - 6}{25} \times 400 = 400 + \frac{19}{25} \times 400 = 400 + 304 = 704$$ - Calcul de $Q_3$ : $$L = 1600, h = 600, F = 72, f = 14$$ $$Q_3 = L + \frac{75 - F}{f} \times h = 1600 + \frac{75 - 72}{14} \times 600 = 1600 + \frac{3}{14} \times 600 = 1600 + 128.57 = 1728.57$$ - Intervalle interquartile : $$IQR = Q_3 - Q_1 = 1728.57 - 704 = 1024.57$$ - Interprétation : 50% des étudiants dépensent entre environ 704 et 1729 dinars annuellement.