1. **Énoncé du problème :** Nous cherchons à déterminer la région d'acceptation pour un test d'hypothèse sur la moyenne d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $N(m, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$. 2. **Formule et hypothèses :** Sous l'hypothèse nulle $H_0 : m = m_0$, la variable standardisée $$Z = \frac{X - m_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1).$$ 3. **Définition de la région d'acceptation :** Pour un risque d'erreur de type I fixé $\alpha$, on cherche un intervalle $I = [m_0 - c; m_0 + c]$ tel que $$\alpha = P(\text{rejeter } H_0 | H_0 \text{ vraie}) = P(X \notin I).$$ 4. **Calcul de la probabilité :** Cela revient à $$P(m_0 - c < X < m_0 + c) = 1 - \alpha,$$ ce qui, en standardisant, donne $$P\left(-\frac{c}{\sigma / \sqrt{n}} < Z < \frac{c}{\sigma / \sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha.$$ 5. **Utilisation de la loi normale centrée réduite :** On note $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ la valeur critique telle que $$P(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} < Z < z_{1-\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha.$$ Ainsi, $$\frac{c}{\sigma / \sqrt{n}} = z_{1-\frac{\alpha}{2}} \implies c = z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ 6. **Région d'acceptation finale :** $$I = \left[m_0 - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; m_0 + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].$$ 7. **Valeurs critiques et règle de décision :** Les bornes critiques sont $$c_1 = m_0 - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad c_2 = m_0 + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ La règle de décision est : - Si $x \in [c_1, c_2]$, on accepte $H_0$. - Si $x \notin [c_1, c_2]$, on rejette $H_0$. Cette démarche permet de fixer une zone d'acceptation symétrique autour de $m_0$ en fonction du risque $\alpha$ et de la variance de l'échantillon.