1. Énoncé du problème : Nous cherchons à déterminer les zones d'acceptation pour différents tests statistiques, notamment pour une moyenne $X \sim N(m, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$, un test de proportion, et un test de comparaison de variance. 2. Test sur la moyenne avec loi normale : Sous l'hypothèse nulle $H_0 : m = m_0$, la statistique normalisée est $$Z = \frac{X - m_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1).$$ 3. Région d'acceptation pour un risque d'erreur $\alpha$ : On cherche un intervalle $I = [m_0 - c; m_0 + c]$ tel que $$P(X \in I) = 1 - \alpha,$$ ce qui équivaut à $$P\left(-c < X - m_0 < c\right) = 1 - \alpha,$$ soit $$P\left(-\frac{c}{\sigma / \sqrt{n}} < Z < \frac{c}{\sigma / \sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha.$$ 4. Définition de $c$ : On pose $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ le quantile de la loi normale standard tel que $$P(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} < Z < z_{1-\frac{\alpha}{2}}) = 1 - \alpha,$$ alors $$c = z_{1-\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ 5. La région d'acceptation est donc $$I = \left[m_0 - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; m_0 + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].$$ 6. Règle de décision : - Si $x \in I$, on accepte $H_0$. - Sinon, on rejette $H_0$. 7. Test de proportion $p$ : Hypothèses : $$H_0 : p = p_0, \quad H_1 : p \neq p_0.$$ Sous le TCL, la statistique suit une loi normale centrée réduite. 8. Valeurs critiques pour un test bilatéral : $$c_1 = p_0 - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}, \quad c_2 = p_0 + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}.$$ 9. Tests unilatéraux : - Test de type (1) (inférieur) : $$c_1 = p_0 - z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}},$$ avec $P(Z < z_{1-\alpha}) = 1 - \alpha$. - Test de type (2) (supérieur) : $$c_2 = p_0 + z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}.$$ 10. Test de comparaison de variance $\sigma^2$ par rapport à une valeur fixe $\sigma_0^2$ : - Si la moyenne est inconnue, la statistique suit une loi du khi-deux avec $n-1$ degrés de liberté. 11. Valeurs critiques : $$c_1 = \frac{(n-1) \sigma_0^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}, \quad c_2 = \frac{(n-1) \sigma_0^2}{\chi^2_{\alpha}(n-1)},$$ avec $\chi^2_{1-\alpha}(n-1)$ et $\chi^2_{\alpha}(n-1)$ les quantiles de la loi du khi-deux. 12. Tests sur la moyenne avec $\sigma$ connu ou inconnu : - Si $\sigma$ connu : $$c_1 = m_0 - z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad c_2 = m_0 + z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ - Si $\sigma$ inconnu : $$c_1 = m_0 - t_{1-\alpha} \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad c_2 = m_0 + t_{1-\alpha} \frac{s}{\sqrt{n}},$$ avec $t_{1-\alpha}$ quantile de la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté.