1. **Énoncé du problème :** Nous devons effectuer une Analyse en Composantes Principales (ACP) centrée sur la matrice $X$ de taille $(4,4)$ donnée par $$X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ 2. **Calcul des moyennes des variables :** La moyenne de chaque variable (colonne) est la somme des éléments divisée par le nombre de lignes (4). $$\bar{x}_1=\frac{1+1+1+1}{4}=1$$ $$\bar{x}_2=\frac{0+1+1+1}{4}=\frac{3}{4}=0.75$$ $$\bar{x}_3=\frac{0+0+1+1}{4}=\frac{2}{4}=0.5$$ $$\bar{x}_4=\frac{0+0+0+1}{4}=\frac{1}{4}=0.25$$ 3. **Calcul des variances des variables :** La variance est donnée par $$s_j^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_{ij}-\bar{x}_j)^2$$ Calculons pour chaque variable : - Pour $x_1$ : tous les éléments sont 1 donc variance $=0$ - Pour $x_2$ : $$\sum (x_{i2}-0.75)^2 = (0-0.75)^2+(1-0.75)^2+(1-0.75)^2+(1-0.75)^2=0.5625+0.0625+0.0625+0.0625=0.75$$ $$s_2^2=\frac{0.75}{3}=0.25$$ - Pour $x_3$ : $$\sum (x_{i3}-0.5)^2 = (0-0.5)^2+(0-0.5)^2+(1-0.5)^2+(1-0.5)^2=0.25+0.25+0.25+0.25=1$$ $$s_3^2=\frac{1}{3}=0.3333$$ - Pour $x_4$ : $$\sum (x_{i4}-0.25)^2 = (0-0.25)^2+(0-0.25)^2+(0-0.25)^2+(1-0.25)^2=0.0625+0.0625+0.0625+0.5625=0.75$$ $$s_4^2=\frac{0.75}{3}=0.25$$ 4. **Matrice des variances-covariances de $X$ :** On centre $X$ en soustrayant les moyennes de chaque colonne, puis on calcule $$S=\frac{1}{n-1}(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})$$ Le calcul donne $$S=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0 & 0.25 & 0.3333 & 0.25 \\ 0 & 0.25 & 0.25 & 0.25\end{pmatrix}$$ 5. **Valeurs propres de la matrice $A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$ :** Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique $\det(A-\lambda I)=0$. Elles sont calculées comme $$\lambda_1=7, \quad \lambda_2=3, \quad \lambda_3=0$$ 6. **Trace de $\Lambda$ (matrice diagonale des valeurs propres) :** La trace est la somme des valeurs propres : $$\mathrm{tr}(\Lambda)=7+3+0=10$$ 7. **Deuxième axe principal de l'ACP de $X$ :** L'axe principal correspond au vecteur propre associé à la deuxième plus grande valeur propre de la matrice de covariance $S$. En calculant les vecteurs propres de $S$, le deuxième axe principal est approximativement $$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 0.707 \\ 0.707 \\ 0\end{pmatrix}$$ 8. **Coordonnées des lignes sur le 2ème axe principal :** On projette les lignes centrées de $X$ sur $\mathbf{v}_2$ : $$C_i = (X_i - \bar{X}) \cdot \mathbf{v}_2$$ Les coordonnées sont $$C=\begin{pmatrix}-0.53 \\ 0.18 \\ 0.53 \\ -0.18\end{pmatrix}$$ 9. **Coordonnées des colonnes sur le 2ème axe principal :** Elles correspondent aux composantes du vecteur propre $\mathbf{v}_2$ : $$\begin{pmatrix}0, 0.707, 0.707, 0\end{pmatrix}$$ **Réponse finale :** - Moyennes : $[1, 0.75, 0.5, 0.25]$ - Variances : $[0, 0.25, 0.3333, 0.25]$ - Matrice covariance $S$ donnée ci-dessus - Valeurs propres de $A$ : $7, 3, 0$ - Trace $\mathrm{tr}(\Lambda)=10$ - 2ème axe principal : $\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}0, 0.707, 0.707, 0\end{pmatrix}$ - Coordonnées lignes sur 2ème axe : $[-0.53, 0.18, 0.53, -0.18]$ - Coordonnées colonnes sur 2ème axe : $[0, 0.707, 0.707, 0]$