1. **Énoncé du problème** : Nous devons qualifier la corrélation entre l'âge et le rythme cardiaque à l'effort à partir d'un tableau de contingence qui regroupe les effectifs selon des intervalles d'âge et de rythme cardiaque. 2. **Formule utilisée** : Pour qualifier la corrélation entre deux variables catégorielles ordonnées, on peut utiliser le coefficient de corrélation de rang de Spearman ou calculer un indice de corrélation basé sur les moyennes pondérées. Ici, nous allons calculer la moyenne pondérée du rythme cardiaque pour chaque tranche d'âge, puis examiner la tendance. 3. **Calcul des centres des intervalles** : - Âge (en années) : $[18,20[ \to 19$, $[20,22[ \to 21$, $[22,24[ \to 23$, $[24,26[ \to 25$, $[26,28[ \to 27$, $[28,30[ \to 29$, $[30,32[ \to 31$ - Rythme cardiaque (bpm) : $[140,150[ \to 145$, $[150,160[ \to 155$, $[160,170[ \to 165$, $[170,180[ \to 175$, $[180,190[ \to 185$, $[190,200[ \to 195$, $[200,210[ \to 205$ 4. **Calcul des moyennes pondérées du rythme cardiaque par tranche d'âge** : Pour chaque tranche d'âge $i$, la moyenne est $$\bar{R}_i = \frac{\sum_{j=1}^7 n_{ij} \times r_j}{\sum_{j=1}^7 n_{ij}}$$ avec $n_{ij}$ le nombre d'individus dans la tranche d'âge $i$ et la classe de rythme $j$, et $r_j$ le centre de la classe de rythme. Calculs : - $i=1$ (18-20) : $\sum n_{1j} = 5+2=7$, $\sum n_{1j} r_j = 5\times145 + 2\times155 = 725 + 310 = 1035$, donc $\bar{R}_1 = \frac{1035}{7} \approx 147.86$ - $i=2$ (20-22) : $\sum n_{2j} = 3+7+1=11$, $\sum n_{2j} r_j = 3\times145 + 7\times155 + 1\times165 = 435 + 1085 + 165 = 1685$, $\bar{R}_2 = \frac{1685}{11} \approx 153.18$ - $i=3$ (22-24) : $\sum n_{3j} = 0+2+9+3=14$, $\sum n_{3j} r_j = 2\times155 + 9\times165 + 3\times175 = 310 + 1485 + 525 = 2320$, $\bar{R}_3 = \frac{2320}{14} \approx 165.71$ - $i=4$ (24-26) : $\sum n_{4j} = 0+1+2+5+3+2+1=14$, $\sum n_{4j} r_j = 1\times155 + 2\times165 + 5\times175 + 3\times185 + 2\times195 + 1\times205 = 155 + 330 + 875 + 555 + 390 + 205 = 2510$, $\bar{R}_4 = \frac{2510}{14} \approx 179.29$ - $i=5$ (26-28) : $\sum n_{5j} = 0+2+4+10+8+7+1=32$, $\sum n_{5j} r_j = 2\times155 + 4\times165 + 10\times175 + 8\times185 + 7\times195 + 1\times205 = 310 + 660 + 1750 + 1480 + 1365 + 205 = 5770$, $\bar{R}_5 = \frac{5770}{32} \approx 180.31$ - $i=6$ (28-30) : $\sum n_{6j} = 0+1+1+6+9+14+3=34$, $\sum n_{6j} r_j = 1\times155 + 1\times165 + 6\times175 + 9\times185 + 14\times195 + 3\times205 = 155 + 165 + 1050 + 1665 + 2730 + 615 = 6380$, $\bar{R}_6 = \frac{6380}{34} \approx 187.65$ - $i=7$ (30-32) : $\sum n_{7j} = 0+0+0+2+3+6+23=34$, $\sum n_{7j} r_j = 2\times175 + 3\times185 + 6\times195 + 23\times205 = 350 + 555 + 1170 + 4715 = 6790$, $\bar{R}_7 = \frac{6790}{34} \approx 199.71$ 5. **Interprétation** : On observe que la moyenne du rythme cardiaque à l'effort augmente avec l'âge, passant d'environ 148 bpm à 19 ans à environ 200 bpm à 31 ans. 6. **Conclusion** : Il existe une corrélation positive entre l'âge et le rythme cardiaque à l'effort dans ces données. Plus l'âge est élevé, plus le rythme cardiaque à l'effort tend à être élevé. **Réponse finale** : La corrélation entre l'âge et le rythme cardiaque à l'effort est positive et croissante.