1. **Énoncé du problème :** Nous avons un tableau décrivant la répartition de 100 étudiants selon leurs dépenses annuelles en dinars, avec des effectifs partiels et des inconnues $n_1$ et $a$. On doit déterminer plusieurs caractéristiques statistiques et calculer ces inconnues. 2. **Population statistique, caractère étudié et nature :** - Population statistique : l'ensemble des 100 étudiants. - Caractère étudié : la dépense annuelle en dinars. - Nature du caractère : quantitative continue (car les dépenses sont mesurées sur des intervalles). 3. **Calcul de $n_1$ et $a$ sachant que la moyenne est 1300 dinars :** - Total des effectifs : $n_1 + 25 + 24 + 17 + 14 + 11 + 3 = 100$ donc $$n_1 + 94 = 100 \Rightarrow n_1 = 6$$ - Moyenne $\bar{x} = 1300$ donnée. - On pose les centres des classes : $c_1 = 200$, $c_2 = 600$, $c_3 = 1000$, $c_4 = 1400$, $c_5 = \frac{1600 + a}{2}$, $c_6 = \frac{a + 3000}{2}$, $c_7 = 3600$. - Moyenne calculée : $$\bar{x} = \frac{6 \times 200 + 25 \times 600 + 24 \times 1000 + 17 \times 1400 + 14 \times c_5 + 11 \times c_6 + 3 \times 3600}{100} = 1300$$ - Calcul intermédiaire : $$6 \times 200 = 1200$$ $$25 \times 600 = 15000$$ $$24 \times 1000 = 24000$$ $$17 \times 1400 = 23800$$ $$3 \times 3600 = 10800$$ - Somme partielle : $$1200 + 15000 + 24000 + 23800 + 10800 = 74800$$ - On a donc : $$1300 = \frac{74800 + 14 c_5 + 11 c_6}{100} \Rightarrow 130000 = 74800 + 14 c_5 + 11 c_6$$ $$14 c_5 + 11 c_6 = 55200$$ - Remplaçons $c_5$ et $c_6$ : $$14 \times \frac{1600 + a}{2} + 11 \times \frac{a + 3000}{2} = 55200$$ $$7(1600 + a) + \frac{11}{2}(a + 3000) = 55200$$ $$11200 + 7a + \frac{11a}{2} + 16500 = 55200$$ $$11200 + 16500 + 7a + 5.5a = 55200$$ $$27700 + 12.5a = 55200$$ $$12.5a = 55200 - 27700 = 27500$$ $$a = \frac{27500}{12.5} = 2200$$ 4. **Histogramme :** - Avec $n_1 = 6$ et $a = 2200$, on peut tracer l'histogramme des effectifs par classe. 5. **Classe modale et mode :** - La classe modale est celle avec l'effectif le plus élevé, ici $[400, 800[$ avec 25 étudiants. - Le mode est approximé par la formule du mode dans un histogramme : $$\text{Mode} = L + \frac{(f_m - f_{m-1})}{(2f_m - f_{m-1} - f_{m+1})} \times h$$ où $L = 400$ (borne inférieure de la classe modale), $f_m = 25$, $f_{m-1} = 6$, $f_{m+1} = 24$, $h = 400$ (largeur de la classe). - Calcul : $$\text{Mode} = 400 + \frac{25 - 6}{2 \times 25 - 6 - 24} \times 400 = 400 + \frac{19}{50 - 30} \times 400 = 400 + \frac{19}{20} \times 400 = 400 + 380 = 780$$ - Interprétation : la dépense la plus fréquente est environ 780 dinars. 6. **Asymétrie de la distribution :** - La moyenne (1300) est supérieure à la médiane (estimée autour de la classe modale), ce qui suggère une asymétrie positive (queue à droite). 7. **Intervalle interquartile :** - Calcul des effectifs cumulés : $6, 31, 55, 72, 86, 97, 100$ - $Q_1$ correspond à la 25e valeur, dans la classe $[400, 800[$. - $Q_3$ correspond à la 75e valeur, dans la classe $[1200, 1600[$. - Interpolation linéaire pour $Q_1$ : $$Q_1 = 400 + \frac{25 - 6}{25} \times 400 = 400 + \frac{19}{25} \times 400 = 400 + 304 = 704$$ - Pour $Q_3$ : $$Q_3 = 1200 + \frac{75 - 55}{17} \times 400 = 1200 + \frac{20}{17} \times 400 \approx 1200 + 470.59 = 1670.59$$ - Intervalle interquartile : $[704, 1670.59]$. - Interprétation : 50% des étudiants dépensent entre environ 704 et 1671 dinars. **Réponse finale :** - $n_1 = 6$, $a = 2200$. - Classe modale : $[400, 800[$. - Mode approximatif : 780 dinars. - Distribution asymétrique à droite. - Intervalle interquartile : $[704, 1670.59]$.