1. **Énoncé du problème** : Nous avons une distribution statistique à deux variables avec les points suivants : $$(6, 6), (18, 12), (4, 6), (20, 12), (18, 13), (6, 5), (10, 10), (14, 8), (16, 10), (8, 8), (11, 9), (13, 9), (15, 11), (9, 7), (7, 7), (17, 11)$$ Nous devons établir l'équation de la droite de régression associée à cette distribution. 2. **Formule de la droite de régression** : La droite de régression de $y$ sur $x$ s'écrit : $$y = a + bx$$ avec $$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$ $$a = \bar{y} - b\bar{x}$$ où - $\bar{x}$ est la moyenne des $x$ - $\bar{y}$ est la moyenne des $y$ - $S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ - $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$ 3. **Calcul des moyennes** : $$\bar{x} = \frac{6 + 18 + 4 + 20 + 18 + 6 + 10 + 14 + 16 + 8 + 11 + 13 + 15 + 9 + 7 + 17}{16} = \frac{189}{16} = 11.8125$$ $$\bar{y} = \frac{6 + 12 + 6 + 12 + 13 + 5 + 10 + 8 + 10 + 8 + 9 + 9 + 11 + 7 + 7 + 11}{16} = \frac{144}{16} = 9$$ 4. **Calcul de $S_{xy}$ et $S_{xx}$** : Calculons chaque terme $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ et $(x_i - \bar{x})^2$ puis leur somme. | $x_i$ | $y_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $y_i - \bar{y}$ | $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | |-------|-------|-----------------|-----------------|---------------------------------|--------------------| | 6 | 6 | -5.8125 | -3 | 17.4375 | 33.7891 | | 18 | 12 | 6.1875 | 3 | 18.5625 | 38.2852 | | 4 | 6 | -7.8125 | -3 | 23.4375 | 61.0352 | | 20 | 12 | 8.1875 | 3 | 24.5625 | 67.0312 | | 18 | 13 | 6.1875 | 4 | 24.75 | 38.2852 | | 6 | 5 | -5.8125 | -4 | 23.25 | 33.7891 | | 10 | 10 | -1.8125 | 1 | -1.8125 | 3.2852 | | 14 | 8 | 2.1875 | -1 | -2.1875 | 4.7852 | | 16 | 10 | 4.1875 | 1 | 4.1875 | 17.5352 | | 8 | 8 | -3.8125 | -1 | 3.8125 | 14.5352 | | 11 | 9 | -0.8125 | 0 | 0 | 0.6602 | | 13 | 9 | 1.1875 | 0 | 0 | 1.4102 | | 15 | 11 | 3.1875 | 2 | 6.375 | 10.1602 | | 9 | 7 | -2.8125 | -2 | 5.625 | 7.9102 | | 7 | 7 | -4.8125 | -2 | 9.625 | 23.1602 | | 17 | 11 | 5.1875 | 2 | 10.375 | 26.9102 | Sommes : $$S_{xy} = 181.5$$ $$S_{xx} = 342.5$$ 5. **Calcul des coefficients** : $$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{181.5}{342.5} \approx 0.53$$ $$a = \bar{y} - b\bar{x} = 9 - 0.53 \times 11.8125 \approx 9 - 6.26 = 2.74$$ 6. **Équation finale de la droite de régression** : $$y = 2.74 + 0.53x$$ Cette droite permet d'estimer $y$ en fonction de $x$ dans cette distribution statistique.