Esperance Et Mle Fba1Fd

1. **Énoncé du problème :** On considère une variable aléatoire $X$ de densité $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ où $\theta > 0$ est un paramètre inconnu. 2. **Calcul de l'espérance $E(X)$ :** L'espérance d'une variable continue est donnée par $$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx.$$ Ici, comme $f(x) = 0$ pour $x \leq 0$, on a $$E(X) = \int_0^{+\infty} x \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} dx.$$ 3. **Calcul de l'intégrale :** Posons $u = \frac{x}{\theta}$, donc $x = \theta u$ et $dx = \theta du$. On remplace dans l'intégrale : $$E(X) = \int_0^{+\infty} \theta u \frac{1}{\theta} e^{-u} \theta du = \theta \int_0^{+\infty} u e^{-u} du.$$ 4. **Évaluation de l'intégrale connue :** On sait que $$\int_0^{+\infty} u e^{-u} du = 1! = 1.$$ 5. **Conclusion sur l'espérance :** Donc $$E(X) = \theta \times 1 = \theta.$$ --- 6. **Détermination de l'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{\theta}_n$ :** Soit un échantillon $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. de la même loi que $X$. La vraisemblance est $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{X_i}{\theta}} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}.$$ 7. **Log-vraisemblance :** $$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i.$$ 8. **Dérivation et résolution :** On dérive par rapport à $\theta$ : $$\frac{d\ell}{d\theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0.$$ 9. **Simplification avec annulation :** $$-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{-n \theta + \sum X_i}{\theta^2} = 0.$$ 10. **Résolution :** $$-n \theta + \sum_{i=1}^n X_i = 0 \implies \hat{\theta}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i.$$ --- 11. **Montrer que $\hat{\theta}_n$ est sans biais :** On calcule $E(\hat{\theta}_n)$ : $$E(\hat{\theta}_n) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \times n \theta = \theta.$$ 12. **Conclusion :** L'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{\theta}_n$ est donc sans biais car son espérance est égale à $\theta$.