1. **Énoncé du problème** : Calculer les moyennes des groupes G1 et G2, la moyenne globale, et la variance à partir des données des effectifs dans les intervalles de scores. 2. **Données** : - Intervalles de scores : $[0;20[, [20;50[, [50;80[, [80;100[$ - Groupe G1 : 19, 41, 40, 25 - Groupe G2 : 24, 8, 48, 1 3. **Calcul des centres des classes** (valeurs représentatives des intervalles) : - $c_1 = \frac{0+20}{2} = 10$ - $c_2 = \frac{20+50}{2} = 35$ - $c_3 = \frac{50+80}{2} = 65$ - $c_4 = \frac{80+100}{2} = 90$ 4. **Calcul de la moyenne du groupe G1** : $$\bar{x}_{G1} = \frac{19\times10 + 41\times35 + 40\times65 + 25\times90}{19+41+40+25}$$ $$= \frac{190 + 1435 + 2600 + 2250}{125} = \frac{6475}{125} = 51.8$$ 5. **Calcul de la moyenne du groupe G2** : $$\bar{x}_{G2} = \frac{24\times10 + 8\times35 + 48\times65 + 1\times90}{24+8+48+1}$$ $$= \frac{240 + 280 + 3120 + 90}{81} = \frac{3730}{81} \approx 46.05$$ 6. **Calcul de la moyenne globale** : - Total effectif : $125 + 81 = 206$ - Somme pondérée des moyennes : $125 \times 51.8 + 81 \times 46.05 = 6475 + 3730 = 10205$ $$\bar{x}_{global} = \frac{10205}{206} \approx 49.54$$ 7. **Calcul de la variance globale** : - Variance = $\frac{1}{N} \sum n_i (c_i - \bar{x})^2$ - Calcul des contributions pour chaque groupe : Pour G1 : $$\sum n_i (c_i - \bar{x}_{global})^2 = 19(10 - 49.54)^2 + 41(35 - 49.54)^2 + 40(65 - 49.54)^2 + 25(90 - 49.54)^2$$ $$= 19 \times 1563.5 + 41 \times 210.9 + 40 \times 237.3 + 25 \times 1640.9 = 29706.5 + 8646.9 + 9492 + 41022.5 = 88867.9$$ Pour G2 : $$24(10 - 49.54)^2 + 8(35 - 49.54)^2 + 48(65 - 49.54)^2 + 1(90 - 49.54)^2$$ $$= 24 \times 1563.5 + 8 \times 210.9 + 48 \times 237.3 + 1 \times 1640.9 = 37524 + 1687.2 + 11390.4 + 1640.9 = 52242.5$$ Somme totale : $$88867.9 + 52242.5 = 141110.4$$ Variance globale : $$\sigma^2 = \frac{141110.4}{206} \approx 685.0$$ **Réponses finales** : - Moyenne G1 : $51.8$ - Moyenne G2 : $46.05$ - Moyenne globale : $49.54$ - Variance globale : $685.0$