1. **Énoncé du problème** : Nous avons un tableau de données catégorielles avec trois variables : Cheveux (Noir, Brun, Roux), Yeux (Bleu, Brun), et Sexe (Homme, Femme). Nous devons : - Déterminer les tableaux de contingence pour chaque paire de variables. - Construire le tableau disjonctif Z et calculer ses marges. - Calculer le tableau de Burt $B = Z^T Z$. 2. **Tableaux de contingence deux à deux** : - Pour Cheveux et Yeux : Comptons les occurrences de chaque combinaison : - Noir-Bleu : 2 (individus 1,2) - Noir-Brun : 2 (3,4) - Brun-Bleu : 1 (5) - Brun-Brun : 2 (6,7) - Roux-Bleu : 3 (8,9,10) - Roux-Brun : 3 (11,12) Tableau : \begin{tabular}{c|cc} Cheveux / Yeux & Bleu & Brun \\ \hline Noir & 2 & 2 \\ Brun & 1 & 2 \\ Roux & 3 & 3 \\ \end{tabular} - Pour Cheveux et Sexe : Comptage : - Noir-Homme : 3 (1,3,4) - Noir-Femme : 1 (2) - Brun-Homme : 2 (6,7) - Brun-Femme : 1 (5) - Roux-Homme : 2 (8,9) - Roux-Femme : 3 (10,11,12) Tableau : \begin{tabular}{c|cc} Cheveux / Sexe & Homme & Femme \\ \hline Noir & 3 & 1 \\ Brun & 2 & 1 \\ Roux & 2 & 3 \\ \end{tabular} - Pour Yeux et Sexe : Comptage : - Bleu-Homme : 3 (1,8,9) - Bleu-Femme : 3 (2,5,10) - Brun-Homme : 4 (3,4,6,7) - Brun-Femme : 2 (11,12) Tableau : \begin{tabular}{c|cc} Yeux / Sexe & Homme & Femme \\ \hline Bleu & 3 & 3 \\ Brun & 4 & 2 \\ \end{tabular} 3. **Tableau disjonctif Z** : - Chaque modalité devient une colonne binaire (1 si présent, 0 sinon). - Modalités : Noir, Brun, Roux, Bleu, Brun (yeux), Homme, Femme. Exemple pour la ligne 1 (Noir, Bleu, Homme) : $Z_1 = [1,0,0,1,0,1,0]$ - Construisons $Z$ pour les 12 individus : $Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ - **Marges** : somme des colonnes de $Z$ donne le nombre d'individus par modalité : $\text{Marges} = Z^T \mathbf{1} = [4,3,5,6,6,6,6]$ 4. **Calcul du tableau de Burt $B = Z^T Z$** : - $B$ est une matrice carrée où chaque élément $(i,j)$ est le nombre d'individus ayant simultanément les modalités $i$ et $j$. - Par exemple, $B_{Noir, Bleu} = 2$ car 2 individus ont Noir et Bleu. - La diagonale $B_{i,i}$ est la fréquence de la modalité $i$. - Calculons quelques éléments : $B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 6 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 6 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 3 & 3 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}$ - Chaque ligne et colonne correspond aux modalités dans l'ordre : Noir, Brun (cheveux), Roux, Bleu (yeux), Brun (yeux), Homme, Femme. **Résumé** : - Nous avons construit les tableaux de contingence deux à deux. - Nous avons formé le tableau disjonctif $Z$ et calculé ses marges. - Nous avons calculé le tableau de Burt $B = Z^T Z$. Cela permet d'analyser les relations entre modalités des variables qualitatives.