1. **Énoncé du problème :** On veut savoir s'il existe une différence significative entre l'efficacité du traitement et la dose utilisée (D1, D2, D3) au seuil de probabilité $\alpha=0.05$. 2. **Méthode utilisée :** On applique un test du khi-deux d'indépendance pour comparer les proportions de guérison selon la dose. 3. **Données :** \begin{align*} \text{Dose D1} &: 40 \text{ guéris}, 40 \text{ non guéris} \\ \text{Dose D2} &: 52 \text{ guéris}, 45 \text{ non guéris} \\ \text{Dose D3} &: 68 \text{ guéris}, 41 \text{ non guéris} \end{align*} 4. **Tableau des effectifs :** \begin{tabular}{c|ccc|c} & D1 & D2 & D3 & Total \\ \hline Guéris & 40 & 52 & 68 & 160 \\ Non guéris & 40 & 45 & 41 & 126 \\ \hline Total & 80 & 97 & 109 & 286 \end{tabular} 5. **Calcul des effectifs théoriques sous l'hypothèse d'indépendance :** $$E_{ij} = \frac{(\text{total ligne i}) \times (\text{total colonne j})}{\text{total général}}$$ Par exemple, pour guéris et D1 : $$E_{11} = \frac{160 \times 80}{286} = 44.76$$ 6. **Calcul du khi-deux :** $$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ avec $O_{ij}$ les effectifs observés. Calculs : \begin{align*} \chi^2 &= \frac{(40-44.76)^2}{44.76} + \frac{(52-54.28)^2}{54.28} + \frac{(68-60.96)^2}{60.96} \\ &+ \frac{(40-35.24)^2}{35.24} + \frac{(45-42.72)^2}{42.72} + \frac{(41-48.04)^2}{48.04} \\ &= \frac{(-4.76)^2}{44.76} + \frac{(-2.28)^2}{54.28} + \frac{7.04^2}{60.96} + \frac{4.76^2}{35.24} + \frac{2.28^2}{42.72} + \frac{(-7.04)^2}{48.04} \\ &= 0.506 + 0.096 + 0.813 + 0.643 + 0.122 + 1.032 = 3.212 \end{align*} 7. **Degrés de liberté :** $$df = (\text{nombre de lignes} - 1) \times (\text{nombre de colonnes} - 1) = (2-1)(3-1) = 2$$ 8. **Décision :** Au seuil $\alpha=0.05$, la valeur critique du $\chi^2$ à 2 degrés de liberté est environ 5.991. Comme $3.212 < 5.991$, on ne rejette pas l'hypothèse nulle. **Conclusion :** Il n'y a pas de différence significative entre l'efficacité du traitement et la dose utilisée au seuil de 5%.