1. **Planteamiento del problema:** Queremos probar que la relación $R$ definida sobre el conjunto potencia de un conjunto $A$, donde $(C,D) \in R$ si y solo si $C \subseteq D$, es una relación de orden parcial pero no total. 2. **Definición de relación de orden parcial:** Una relación $R$ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 3. **Demostración de reflexividad:** Para todo subconjunto $C$ de $A$, se cumple que $C \subseteq C$, por lo tanto $(C,C) \in R$. Esto muestra que $R$ es reflexiva. 4. **Demostración de antisimetría:** Si $(C,D) \in R$ y $(D,C) \in R$, entonces $C \subseteq D$ y $D \subseteq C$. Esto implica que $C = D$. Por lo tanto, $R$ es antisimétrica. 5. **Demostración de transitividad:** Si $(C,D) \in R$ y $(D,E) \in R$, entonces $C \subseteq D$ y $D \subseteq E$. Por la propiedad de inclusión, $C \subseteq E$, luego $(C,E) \in R$. Esto muestra que $R$ es transitiva. 6. **Conclusión sobre orden parcial:** Como $R$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva, $R$ es una relación de orden parcial. 7. **Demostración de que no es total:** Para que $R$ sea total, para cualesquiera $C,D \subseteq A$ debe cumplirse que $C \subseteq D$ o $D \subseteq C$. 8. **Contraejemplo:** Sea $A = \{1,2\}$, $C = \{1\}$ y $D = \{2\}$. Ni $C \subseteq D$ ni $D \subseteq C$ se cumple, por lo que $R$ no es total. **Respuesta final:** La relación $R$ es un orden parcial pero no total.