1. Diberikan set $A$ dan $A'$ adalah himpunan semua subset dari $A$. Misal $X, Y \in A'$. Operasi $\cup$ dan $\cap$ didefinisikan sebagai gabungan dan irisan. (a) Operasi biner berarti operasi yang menggabungkan dua elemen dari himpunan dan hasilnya juga elemen himpunan tersebut. Karena $X, Y \subseteq A$, maka $X \cup Y$ dan $X \cap Y$ juga subset dari $A$, sehingga $X \cup Y, X \cap Y \in A'$. Jadi, $\cup$ dan $\cap$ adalah operasi biner pada $A'$. (b) Bukti asosiatif: - Untuk $\cup$: $X \cup (Y \cup Z) = (X \cup Y) \cup Z$ karena gabungan himpunan bersifat asosiatif. - Untuk $\cap$: $X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$ karena irisan himpunan juga asosiatif. (c) Unsur netral terhadap $\cup$ adalah himpunan kosong $\emptyset$ karena $X \cup \emptyset = X$ untuk semua $X \in A'$. (d) Unsur netral terhadap $\cap$ adalah himpunan $A$ itu sendiri karena $X \cap A = X$ untuk semua $X \in A'$. (e) $A'$ terhadap $\cup$ bukan grup karena tidak semua elemen memiliki invers terhadap $\cup$. Misal, tidak ada $Y$ sehingga $X \cup Y = \emptyset$ kecuali $X = \emptyset$. (f) $A'$ terhadap $\cap$ bukan grup karena tidak semua elemen memiliki invers terhadap $\cap$. Misal, tidak ada $Y$ sehingga $X \cap Y = A$ kecuali $X = A$. 2. Definisikan operasi $X \circ Y = (X \cup Y) \setminus (X \cap Y)$, yaitu simetris beda. - Tertutup: Karena $X, Y \in A'$, maka $X \circ Y$ juga subset dari $A$, jadi $X \circ Y \in A'$. - Asosiatif: Operasi simetris beda bersifat asosiatif. - Unsur netral: $\emptyset$ karena $X \circ \emptyset = X$. - Invers: Setiap $X$ adalah invers dari dirinya sendiri karena $X \circ X = \emptyset$. Jadi, $A'$ membentuk grup terhadap operasi $\circ$. 3. Jika $G$ grup hingga, maka setiap unsur $g \in G$ memiliki order, yaitu bilangan terkecil positif $n$ sehingga $g^n = e$ (elemen identitas). Karena $G$ hingga, urutan $g$ pasti terbatas. 4. Contoh grup tak hingga: grup $(\mathbb{Z}, +)$ dengan elemen $1$ tidak memiliki order karena $n \cdot 1 \neq 0$ untuk semua $n > 0$. 5. Grup $U_7$ adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 yang relatif prima dengan 7, yaitu $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ dengan operasi perkalian modulo 7. Order setiap unsur: - $1$: order 1 karena $1^1 \equiv 1 \pmod{7}$ - $2$: order 3 karena $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ - $3$: order 6 karena $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ - $4$: order 3 karena $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$ - $5$: order 6 karena $5^6 \equiv 1 \pmod{7}$ - $6$: order 2 karena $6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$ 6. Grup $\mathbb{Z}_7 = \{0,1,2,3,4,5,6\}$ dengan operasi penjumlahan modulo 7. Order setiap unsur: - $0$: order 1 karena $0 \times 1 = 0$ - $1$: order 7 karena $7 \times 1 = 7 \equiv 0 \pmod{7}$ - $2$: order 7 karena $7 \times 2 = 14 \equiv 0 \pmod{7}$ - $3$: order 7 - $4$: order 7 - $5$: order 7 - $6$: order 7 Kesimpulan: Semua unsur kecuali 0 memiliki order 7 di $\mathbb{Z}_7$.