1. O problema pede para analisar a divisibilidade por 3 do número $P(n) = n^3 - n$, onde $n$ é um número inteiro positivo. 2. Vamos fatorar $P(n)$ para entender melhor: $$P(n) = n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$$ 3. Note que $P(n)$ é o produto de três números inteiros consecutivos: $n-1$, $n$, e $n+1$. 4. Uma propriedade importante é que em qualquer conjunto de três números inteiros consecutivos, exatamente um deles é múltiplo de 3. 5. Portanto, o produto $n(n-1)(n+1)$ é sempre divisível por 3 para qualquer inteiro $n$. 6. Analisando as afirmações: - I. $P(n)$ é divisível por 3 para qualquer $n$ inteiro positivo. Isso é verdadeiro. - II. $P(n)$ é divisível por 3 para qualquer $n$ natural ímpar. Isso também é verdadeiro, pois é um caso particular de I. - III. $P(n)$ é divisível por 3 para qualquer $n$ natural primo. Nem todo número primo é múltiplo de 3, por exemplo, $n=2$ (primo) e $P(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$, que é divisível por 3, mas para $n=3$ (primo), $P(3) = 27 - 3 = 24$, divisível por 3. Para $n=5$, $P(5) = 125 - 5 = 120$, divisível por 3. Na verdade, para todo primo $n$, $P(n)$ é divisível por 3, pois $P(n) = n(n-1)(n+1)$ e entre $n-1$, $n$, $n+1$ sempre há um múltiplo de 3. 7. Portanto, todas as afirmações I, II e III são verdadeiras. 8. A questão pergunta quais sentenças estão incorretas. Como todas são verdadeiras, a resposta correta é "Nenhuma". **Resposta final:** e. Nenhuma