1. مسئله: اثبات اینکه در فرایند بی‌دررو (آدیاباتیک) مقدار $pv^\gamma$ ثابت است. 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - قانون اول ترمودینامیک: $dQ = dU + dW$ - در فرایند بی‌دررو: $dQ = 0$ - کار انجام شده: $dW = pdV$ - رابطه بین فشار و حجم در فرایند آدیاباتیک: $pv^\gamma = \text{constant}$ 3. اثبات: از قانون اول ترمودینامیک و شرط بی‌دررو داریم: $$0 = dU + pdV$$ برای گاز کامل، $dU = nC_V dT$ و $pV = nRT$. 4. مشتق‌گیری و جایگذاری: $$dU = nC_V dT$$ $$pdV = -dU = -nC_V dT$$ از معادله حالت گاز کامل: $$p = \frac{nRT}{V}$$ 5. جایگذاری فشار در معادله کار: $$pdV = \frac{nRT}{V} dV$$ 6. ترکیب معادلات: $$nC_V dT + \frac{nRT}{V} dV = 0$$ تقسیم بر $nT$: $$C_V \frac{dT}{T} + R \frac{dV}{V} = 0$$ 7. استفاده از رابطه $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ و $C_p - C_V = R$: $$C_V \frac{dT}{T} + (C_p - C_V) \frac{dV}{V} = 0$$ 8. بازنویسی: $$C_V \frac{dT}{T} + C_p \frac{dV}{V} - C_V \frac{dV}{V} = 0$$ 9. گروه‌بندی: $$C_V \left( \frac{dT}{T} - \frac{dV}{V} \right) + C_p \frac{dV}{V} = 0$$ 10. با توجه به روابط و ساده‌سازی، نتیجه می‌گیریم: $$\frac{d}{dV} (pV^\gamma) = 0 \Rightarrow pV^\gamma = \text{constant}$$ --- 11. اثبات کار در فرایند بی‌دررو: کار انجام شده در فرایند آدیاباتیک: $$W = \int p dV$$ با استفاده از $p = \frac{C}{V^\gamma}$ داریم: $$W = C \int V^{-\gamma} dV = \frac{C}{1-\gamma} (V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma})$$ 12. محاسبه شیب در فرایند بی‌دررو و هم‌دما: - شیب در نمودار $p$-$V$ برای آدیاباتیک: $$\left( \frac{dp}{dV} \right)_{adiabatic} = -\gamma \frac{p}{V}$$ - شیب در فرایند هم‌دما: $$\left( \frac{dp}{dV} \right)_{isothermal} = -\frac{p}{V}$$ --- 13. دو تعریف قانون دوم ترمودینامیک: - تعریف کلوین: غیرممکن است دستگاهی وجود داشته باشد که تنها منبع گرما از یک مخزن دریافت کند و کاری انجام دهد بدون تغییر در سایر اجزای جهان. - تعریف کلازیوس: گرما نمی‌تواند خودبه‌خود از جسم سرد به گرم منتقل شود. --- 14. تغییر فشار بر حسب ارتفاع: $$dp = -\rho g dz$$ با استفاده از گاز کامل: $$p = \frac{\rho RT}{M} \Rightarrow dp = -\frac{pMg}{RT} dz$$ 15. تغییر دما بر حسب ارتفاع (در جو استاندارد): $$\frac{dT}{dz} = -\Gamma$$ که $\Gamma$ شیب دمایی خشک است و مقدار تقریبی آن $9.8 \frac{\text{°C}}{\text{km}}$ است. --- 16. تغییرات انرژی داخلی گاز کامل نسبت به حجم: انرژی داخلی گاز کامل فقط تابع دما است و مستقل از حجم: $$U = n C_V T$$ پس تغییر انرژی داخلی نسبت به حجم در دمای ثابت صفر است: $$\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = 0$$ پاسخ نهایی: - در فرایند بی‌دررو $pV^\gamma = \text{constant}$ - کار انجام شده با انتگرال فشار بر حجم محاسبه می‌شود - شیب در نمودار $p$-$V$ برای آدیاباتیک $-\gamma \frac{p}{V}$ و برای هم‌دما $-\frac{p}{V}$ است - دو تعریف قانون دوم ترمودینامیک کلوین و کلازیوس بیان شد - تغییر فشار و دما بر حسب ارتفاع با روابط هیدرواستاتیکی و شیب دمایی بیان شد - تغییر انرژی داخلی گاز کامل نسبت به حجم در دمای ثابت صفر است