1. مسئله را بیان می‌کنیم: تغییر آنتروپی جهان را در هر یک از فرآیندهای داده شده محاسبه کنیم. 2. فرمول کلی تغییر آنتروپی برای جسمی با ظرفیت گرمایی ثابت $C$ و تغییر دما از $T_1$ به $T_2$ به صورت زیر است: $$\Delta S = C \ln \frac{T_2}{T_1}$$ که دماها باید بر حسب کلوین باشند. 3. (الف) مس به جرم 0.2 کیلوگرم با ظرفیت گرمایی کل $C=150$ J/K در فشار ثابت، از دمای $10^\circ C$ به دمای $0^\circ C$ می‌رود. - تبدیل دماها به کلوین: $$T_1 = 10 + 273 = 283 K$$ $$T_2 = 0 + 273 = 273 K$$ - محاسبه تغییر آنتروپی: $$\Delta S = 150 \ln \frac{273}{283} = 150 \ln(0.9643) = 150 \times (-0.0361) = -5.42 \text{ J/K}$$ 4. (ب) همان قطعه مس در دمای $10^\circ C$ از ارتفاع 100 متر به داخل دریاچه انداخته می‌شود. - تغییر آنتروپی در این فرآیند به دلیل تبدیل انرژی پتانسیل به گرما در محیط است. - انرژی پتانسیل گرانشی: $$\Delta E_p = mgh = 0.2 \times 9.8 \times 100 = 196 \text{ J}$$ - فرض می‌کنیم این انرژی به طور کامل به گرما تبدیل شده و به محیط منتقل می‌شود. - تغییر آنتروپی محیط: $$\Delta S = \frac{Q}{T} = \frac{196}{283} = 0.692 \text{ J/K}$$ - تغییر آنتروپی مس در این فرآیند صفر است چون دما تغییر نمی‌کند. - بنابراین تغییر کل آنتروپی جهان برابر با تغییر آنتروپی محیط است: $$\Delta S_{total} = 0.692 \text{ J/K}$$ 5. (ج) دو قطعه مس در دماهای $100^\circ C$ و $0^\circ C$ به هم متصل می‌شوند و به تعادل حرارتی می‌رسند. - تبدیل دماها به کلوین: $$T_h = 100 + 273 = 373 K$$ $$T_c = 0 + 273 = 273 K$$ - فرض می‌کنیم هر قطعه ظرفیت گرمایی $C=150$ J/K دارد. - دمای تعادل: $$T_f = \frac{T_h + T_c}{2} = \frac{373 + 273}{2} = 323 K$$ - تغییر آنتروپی قطعه گرم: $$\Delta S_h = C \ln \frac{T_f}{T_h} = 150 \ln \frac{323}{373} = 150 \times (-0.134) = -20.1 \text{ J/K}$$ - تغییر آنتروپی قطعه سرد: $$\Delta S_c = C \ln \frac{T_f}{T_c} = 150 \ln \frac{323}{273} = 150 \times 0.171 = 25.7 \text{ J/K}$$ - تغییر کل آنتروپی: $$\Delta S_{total} = \Delta S_h + \Delta S_c = -20.1 + 25.7 = 5.6 \text{ J/K}$$ نتایج نهایی: - (الف) $\Delta S = -5.42$ J/K - (ب) $\Delta S = 0.692$ J/K - (ج) $\Delta S = 5.6$ J/K