1. مسئله: یک استوانه عایق‌بندی شده با دو بخش هوا در دو طرف پیستون قرار دارد. حجم هر بخش $10^3$ متر مکعب است. دما و فشار اولیه در سمت اول $T_1=300\,K$ و $P_1=2\times 10^5\,Pa$ و در سمت دوم $T_2=300\,K$ و $P_2=1\times 10^5\,Pa$ است. پیستون آزاد می‌شود تا به تعادل برسد. باید فشار و دمای نهایی و افزایش کل آنتروپی را محاسبه کنیم و نوع فرایند برگشت‌ناپذیر را مشخص کنیم. 2. فرضیات و فرمول‌ها: - حجم کل ثابت است: $$V=V_1+V_2=2\times 10^3\,m^3$$ - هوا به عنوان گاز ایده‌آل در نظر گرفته می‌شود. - دما و فشار نهایی در هر دو بخش برابر می‌شود: $$T_f, P_f$$ - قانون گاز ایده‌آل: $$P V = n R T$$ - انرژی داخلی گاز ایده‌آل فقط تابع دما است. - آنتروپی برای گاز ایده‌آل: $$\Delta S = n C_V \ln\frac{T_f}{T_i} + n R \ln\frac{V_f}{V_i}$$ 3. محاسبه تعداد مول‌ها در هر بخش اولیه: $$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{2\times 10^5 \times 10^3}{R \times 300} = \frac{2\times 10^8}{300 R} = \frac{2}{3} \times \frac{10^8}{R}$$ $$n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{1\times 10^5 \times 10^3}{R \times 300} = \frac{10^8}{300 R} = \frac{1}{3} \times \frac{10^8}{R}$$ 4. چون پیستون حرکت می‌کند تا فشار و دما برابر شود، تعداد کل مول‌ها ثابت است: $$n = n_1 + n_2 = \frac{3}{3} \times \frac{10^8}{R} = \frac{10^8}{R}$$ 5. چون سیستم عایق است، انرژی داخلی کل ثابت است: $$U_i = n_1 C_V T_1 + n_2 C_V T_2 = n C_V T_f$$ با توجه به اینکه $T_1 = T_2 = 300\,K$ داریم: $$T_f = 300\,K$$ 6. فشار نهایی با توجه به حجم کل و تعداد کل مول‌ها: $$P_f = \frac{n R T_f}{V} = \frac{\frac{10^8}{R} R 300}{2 \times 10^3} = \frac{10^8 \times 300}{2 \times 10^3} = 1.5 \times 10^7\,Pa$$ 7. افزایش کل آنتروپی: آنتروپی کل برابر است با جمع آنتروپی دو بخش: $$\Delta S = n_1 R \ln \frac{V_1'}{V_1} + n_2 R \ln \frac{V_2'}{V_2}$$ حجم‌های جدید با توجه به فشار و دما: $$V_1' = \frac{n_1 R T_f}{P_f}, \quad V_2' = \frac{n_2 R T_f}{P_f}$$ 8. محاسبه حجم‌های جدید: $$V_1' = \frac{n_1 R 300}{1.5 \times 10^7} = \frac{n_1 R 300}{1.5 \times 10^7}$$ $$V_2' = \frac{n_2 R 300}{1.5 \times 10^7}$$ 9. چون حجم کل ثابت است و حجم‌ها تغییر می‌کنند، آنتروپی افزایش می‌یابد. این فرایند یک فرایند برگشت‌ناپذیر به دلیل آزاد شدن پیستون و عدم تعادل اولیه فشار است. نتیجه نهایی: - دمای نهایی: $$T_f = 300\,K$$ - فشار نهایی: $$P_f = 1.5 \times 10^7\,Pa$$ - افزایش کل آنتروپی مثبت است و فرایند برگشت‌ناپذیر است.