1. مسئله: یک مول از گاز با معادله حالت $$ (P+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT $$ داده شده است که $$v$$ حجم مولی است و انرژی داخلی مولی آن به صورت $$ u=c_0-\frac{a}{v} $$ تعریف شده است. هدف محاسبه ظرفیتهای گرمایی $$ C_v $$ و $$ C_p $$ است.
2. فرمولها و تعاریف مهم:
- ظرفیت گرمایی در حجم ثابت: $$ C_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v $$
- ظرفیت گرمایی در فشار ثابت: $$ C_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p $$
- آنتالپی: $$ h=u+Pv $$
3. محاسبه $$ C_v $$:
از رابطه $$ u=c_0-\frac{a}{v} $$ میبینیم که $$ u $$ فقط به $$ v $$ وابسته است و مستقل از $$ T $$ است، پس:
$$ C_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v=0 $$
4. محاسبه $$ C_p $$:
ابتدا آنتالپی را محاسبه میکنیم:
$$ h=u+Pv=c_0-\frac{a}{v}+Pv $$
از معادله حالت:
$$ (P+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT \Rightarrow P=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2} $$
جایگذاری در آنتالپی:
$$ h=c_0-\frac{a}{v}+v\left(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\right)=c_0-\frac{a}{v}+\frac{vRT}{v-b}-\frac{a}{v} $$
سادهسازی:
$$ h=c_0-\frac{2a}{v}+\frac{vRT}{v-b} $$
5. مشتق آنتالپی نسبت به دما در فشار ثابت:
در فشار ثابت، $$ v $$ تابع $$ T $$ است، اما برای محاسبه $$ C_p $$ از رابطه:
$$ C_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(c_0-\frac{2a}{v}+\frac{vRT}{v-b}\right)_p $$
6. مشتق جزئی:
$$ \frac{\partial h}{\partial T}=0-\frac{2a}{v^2}\frac{\partial v}{\partial T}+R\frac{v}{v-b}+RT\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{v}{v-b}\right) $$
7. مشتق $$ \frac{v}{v-b} $$ نسبت به $$ T $$:
$$ \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{v}{v-b}\right)=\frac{(v-b)\frac{\partial v}{\partial T}-v\frac{\partial}{\partial T}(v-b)}{(v-b)^2}=\frac{(v-b)\frac{\partial v}{\partial T}-v\frac{\partial v}{\partial T}}{(v-b)^2}=\frac{(v-b-v)\frac{\partial v}{\partial T}}{(v-b)^2}=-\frac{b}{(v-b)^2}\frac{\partial v}{\partial T} $$
8. جایگذاری در مشتق آنتالپی:
$$ \frac{\partial h}{\partial T}=-\frac{2a}{v^2}\frac{\partial v}{\partial T}+R\frac{v}{v-b}+RT\left(-\frac{b}{(v-b)^2}\frac{\partial v}{\partial T}\right) $$
9. برای محاسبه $$ \frac{\partial v}{\partial T} $$ در فشار ثابت، معادله حالت را نسبت به $$ T $$ مشتق میکنیم:
$$ (P+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT $$
مشتق:
$$ (0 - \frac{2a}{v^3}\frac{\partial v}{\partial T})(v-b)+(P+\frac{a}{v^2})\frac{\partial}{\partial T}(v-b)=R $$
10. مشتق $$ (v-b) $$ نسبت به $$ T $$ برابر $$ \frac{\partial v}{\partial T} $$ است، پس:
$$ -\frac{2a}{v^3}(v-b)\frac{\partial v}{\partial T}+(P+\frac{a}{v^2})\frac{\partial v}{\partial T}=R $$
11. جمع کردن ضریب $$ \frac{\partial v}{\partial T} $$:
$$ \left(-\frac{2a}{v^3}(v-b)+P+\frac{a}{v^2}\right)\frac{\partial v}{\partial T}=R $$
12. جایگذاری $$ P=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2} $$:
$$ \left(-\frac{2a}{v^3}(v-b)+\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}+\frac{a}{v^2}\right)\frac{\partial v}{\partial T}=R $$
13. سادهسازی:
$$ \left(-\frac{2a}{v^3}(v-b)+\frac{RT}{v-b}\right)\frac{\partial v}{\partial T}=R $$
14. حل برای $$ \frac{\partial v}{\partial T} $$:
$$ \frac{\partial v}{\partial T}=\frac{R}{\frac{RT}{v-b}-\frac{2a}{v^3}(v-b)}=\frac{R}{\frac{RT}{v-b}-\frac{2a(v-b)}{v^3}} $$
15. جایگذاری در مشتق آنتالپی و سادهسازی نهایی:
$$ C_p=R\frac{v}{v-b}+\left(-\frac{2a}{v^2}-\frac{RTb}{(v-b)^2}\right)\frac{R}{\frac{RT}{v-b}-\frac{2a(v-b)}{v^3}} $$
نتیجه نهایی:
$$ C_v=0 $$
$$ C_p=R\frac{v}{v-b}+\left(-\frac{2a}{v^2}-\frac{RTb}{(v-b)^2}\right)\frac{R}{\frac{RT}{v-b}-\frac{2a(v-b)}{v^3}} $$
این ظرفیتهای گرمایی برای گاز با معادله حالت داده شده و انرژی داخلی مشخص شده است.
Heat Capacities 976194
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.