1. مسئله: یک مول از گاز با معادله حالت $$ (P+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT $$ داده شده است که $$v$$ حجم مولی است و انرژی داخلی مولی به صورت $$ u=c\theta - \frac{a}{v} $$ تعریف شده است. هدف محاسبه ظرفیت‌های گرمایی $$ C_v $$ و $$ C_p $$ است. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - ظرفیت گرمایی در حجم ثابت: $$ C_v = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v $$ - ظرفیت گرمایی در فشار ثابت: $$ C_p = C_v + T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P $$ - از معادله حالت، فشار را به صورت تابع $$ P = \frac{RT}{v-b} - \frac{a}{v^2} $$ داریم. 3. محاسبه $$ C_v $$: از $$ u = c\theta - \frac{a}{v} $$ داریم: $$ C_v = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v = c $$ زیرا $$ -\frac{a}{v} $$ به $$ \theta $$ وابسته نیست. 4. محاسبه $$ C_p $$: ابتدا مشتق $$ P $$ نسبت به $$ T $$ در حجم ثابت: $$ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v = \frac{R}{v-b} $$ سپس مشتق $$ v $$ نسبت به $$ T $$ در فشار ثابت را می‌یابیم. از معادله حالت: $$ P = \frac{RT}{v-b} - \frac{a}{v^2} $$ ثابت فرض کنیم $$ P $$ ثابت است، پس مشتق ضمنی نسبت به $$ T $$: $$ 0 = \frac{R}{v-b} - \frac{RT}{(v-b)^2} \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P + \frac{2a}{v^3} \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P $$ مرتب‌سازی: $$ \left[ -\frac{RT}{(v-b)^2} + \frac{2a}{v^3} \right] \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P = -\frac{R}{v-b} $$ پس: $$ \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P = \frac{R/(v-b)}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} $$ 5. نهایتاً ظرفیت گرمایی در فشار ثابت: $$ C_p = c + T \times \frac{R}{v-b} \times \frac{R/(v-b)}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} = c + \frac{TR^2/(v-b)^2}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} $$ 6. ساده‌سازی کسر: $$ C_p = c + \frac{TR^2/(v-b)^2}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} = c + \frac{TR^2/(v-b)^2}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} $$ این جواب نهایی برای $$ C_p $$ است. نتیجه: $$ C_v = c $$ $$ C_p = c + \frac{TR^2/(v-b)^2}{\frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{2a}{v^3}} $$