1. **Énoncé du problème :** Un cylindre vertical contient un gaz parfait initialement à la température $T_1=7^\circ C=280\,K$, volume $V_1=S\times h_1=10\,cm^2 \times 35\,cm=350\,cm^3=3.5\times10^{-4}\,m^3$, pression $P_1=1\,bar$. Le gaz est comprimé adiabatiquement et réversiblement jusqu'à $P_2=3\,bar$. On cherche : 1. Le volume final $V_2$ 2. Le déplacement du piston $d=h_1-h_2$ 3. La température finale $T_2$ 2. **Formules et règles importantes :** Pour une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait, on utilise la relation : $$P V^\gamma = \text{constante}$$ avec $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, le coefficient adiabatique (pour l'air, $\gamma \approx 1.4$). On a aussi la relation entre température et volume : $$T V^{\gamma-1} = \text{constante}$$ 3. **Calcul du volume final $V_2$ :** $$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$$ $$\Rightarrow V_2 = V_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$$ Calculons : $$V_2 = 3.5 \times 10^{-4} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{1.4}}$$ 4. **Calcul du déplacement du piston $d$ :** Le volume est $V = S \times h$, donc $$h_2 = \frac{V_2}{S}$$ $$d = h_1 - h_2 = h_1 - \frac{V_2}{S}$$ 5. **Calcul de la température finale $T_2$ :** Utilisons la relation : $$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma -1}$$ Calculons : $$T_2 = T_1 \times \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma -1}$$ --- **Calculs numériques :** $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{1.4}} = e^{\frac{1}{1.4} \ln(1/3)} = e^{\frac{1}{1.4} (-1.0986)} = e^{-0.7847} \approx 0.456$$ Donc : $$V_2 = 3.5 \times 10^{-4} \times 0.456 = 1.596 \times 10^{-4} \, m^3 = 159.6 \, cm^3$$ Hauteur finale : $$h_2 = \frac{V_2}{S} = \frac{159.6}{10} = 15.96 \, cm$$ Déplacement du piston : $$d = 35 - 15.96 = 19.04 \, cm$$ Calcul de $T_2$ : $$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma -1} = \left(\frac{3.5 \times 10^{-4}}{1.596 \times 10^{-4}}\right)^{0.4} = (2.192)^{0.4} = e^{0.4 \ln(2.192)} = e^{0.4 \times 0.785} = e^{0.314} \approx 1.369$$ Donc : $$T_2 = 280 \times 1.369 = 383.3 \, K = 110.15^\circ C$$ --- **Réponses finales :** 1. $V_2 = 159.6 \, cm^3$ 2. $d = 19.04 \, cm$ 3. $T_2 = 110.15^\circ C$