1. Bài toán yêu cầu tính giới hạn của dãy số $$\lim_{n \to \infty} \left(3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \cdots + \frac{1}{3^n}\right)$$. 2. Ta nhận thấy dãy số gồm tổng của một số hằng số và một chuỗi số có dạng cấp số nhân vô hạn. 3. Cụ thể, chuỗi $$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots + \frac{1}{3^n}$$ là cấp số nhân với số hạng đầu $$a = 1$$ và công bội $$r = \frac{1}{3}$$. 4. Công thức tổng của cấp số nhân hữu hạn là $$S_n = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$. 5. Áp dụng công thức, ta có: $$S_n = 1 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$$. 6. Khi $$n \to \infty$$, ta có $$\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \to 0$$ nên $$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$$. 7. Vậy giới hạn của dãy số ban đầu là: $$\lim_{n \to \infty} \left(3 + S_n\right) = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$. Kết luận: Giới hạn cần tìm là $$\boxed{\frac{9}{2}}$$ hoặc 4.5.