1. Bài toán yêu cầu chọn nhiều số nhất từ tập $A = \{1,2,\ldots,2025\}$ sao cho không có hai số nào cách nhau đúng 4 hoặc 7. 2. Ta cần hiểu rằng nếu hai số $x$ và $y$ được chọn thì $|x-y| \neq 4$ và $|x-y| \neq 7$. 3. Điều này có nghĩa là không được chọn hai số mà hiệu của chúng là 4 hoặc 7. 4. Ta sẽ phân tích tập $A$ theo modulo 11 vì 4 và 7 cộng lại là 11, và khoảng cách 4 hoặc 7 liên quan đến modulo 11. 5. Xét các lớp dư modulo 11: $0,1,2,\ldots,10$. 6. Nếu chọn một số trong lớp dư $r$, thì không được chọn số trong lớp dư $(r+4) \bmod 11$ và $(r+7) \bmod 11$ vì khoảng cách 4 hoặc 7 tương ứng với sự khác biệt lớp dư này. 7. Ta cần chọn tập con các lớp dư sao cho không có hai lớp dư nào cách nhau 4 hoặc 7 modulo 11. 8. Các cặp lớp dư bị cấm cùng chọn là $(r, r+4)$ và $(r, r+7)$ modulo 11. 9. Ta tìm tập các lớp dư lớn nhất không chứa cặp cấm này. 10. Một tập lớp dư tối đa thỏa mãn là $\{0,1,2,5,6\}$ hoặc $\{3,4,8,9,10\}$ gồm 5 lớp dư. 11. Mỗi lớp dư có số phần tử gần bằng $\left\lfloor \frac{2025 - r}{11} \right\rfloor + 1$ hoặc $\left\lfloor \frac{2025 - r}{11} \right\rfloor$. 12. Tính số phần tử trong mỗi lớp dư: - Lớp dư $r$ có số phần tử $n_r = \left\lfloor \frac{2025 - r}{11} \right\rfloor + 1$ nếu $r \leq 2025 \bmod 11$, ngược lại $n_r = \left\lfloor \frac{2025 - r}{11} \right\rfloor$. 13. Vì $2025 \bmod 11 = 2025 - 11 \times 184 = 2025 - 2024 = 1$, nên lớp dư 0 và 1 có phần tử nhiều hơn 1 đơn vị so với các lớp khác. 14. Tính số phần tử từng lớp: - $n_0 = 184 + 1 = 185$ - $n_1 = 184 + 1 = 185$ - Các lớp còn lại $n_r = 184$ 15. Tính tổng số phần tử của tập lớp dư $\{0,1,2,5,6\}$: $$185 + 185 + 184 + 184 + 184 = 922$$ 16. Tập lớp dư $\{3,4,8,9,10\}$ có tổng: $$184 + 184 + 184 + 184 + 184 = 920$$ 17. Vậy số phần tử lớn nhất có thể chọn là $922$. **Đáp án:** $\boxed{922}$