1. Tính giới hạn 1. a) Tính $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}$ Cách làm: 1. Thay trực tiếp $x=2$ vào biểu thức: $$\frac{2^2 - 7\cdot 2 + 10}{2 - 2} = \frac{4 - 14 + 10}{0} = \frac{0}{0} \text{ dạng không xác định}$$ 2. Phân tích tử thành nhân tử: $$x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$$ 3. Rút gọn phân số: $$\frac{(x - 5)\cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x - 2)}} = x - 5$$ 4. Thay $x=2$ vào biểu thức đã rút gọn: $$2 - 5 = -3$$ Kết luận: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} = -3$$ 1. b) Tính $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x - 1}$ Cách làm: 1. Thay trực tiếp $x=1$: $$\frac{\sqrt{3\cdot 1 + 1} - 2}{1 - 1} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0} \text{ dạng không xác định}$$ 2. Nhân tử với liên hợp để khử căn: $$\frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{3x + 1} + 2}{\sqrt{3x + 1} + 2} = \frac{3x + 1 - 4}{(x - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)} = \frac{3x - 3}{(x - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)}$$ 3. Rút gọn: $$\frac{3\cancel{(x - 1)}}{\cancel{(x - 1)}(\sqrt{3x + 1} + 2)} = \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 2}$$ 4. Thay $x=1$: $$\frac{3}{\sqrt{3\cdot 1 + 1} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$$ Kết luận: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x - 1} = \frac{3}{4}$$ 1. c) Tính $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 3}{2n - 1}$ Cách làm: 1. Chia tử và mẫu cho $n$: $$\frac{\frac{n}{n} + \frac{3}{n}}{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}} = \frac{1 + \frac{3}{n}}{2 - \frac{1}{n}}$$ 2. Khi $n \to +\infty$, $\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ 3. Giới hạn là: $$\frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$$ Kết luận: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 3}{2n - 1} = \frac{1}{2}$$ 1. d) Tính $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1}$ Cách làm: 1. Xét dấu mẫu số khi $x \to 1^+$: $x - 1 > 0$ rất nhỏ 2. Tử số khi $x \to 1$: $1 + 2 = 3 > 0$ 3. Phân số có tử dương, mẫu dương rất nhỏ nên giới hạn là $+\infty$ Kết luận: $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} = +\infty$$ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình thang $AB \parallel CD$, $AB = 2CD$, $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $MA = 2MB$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. 2. a) Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ - Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua giao điểm chung của hai mặt phẳng. - Giao tuyến $(SAB) \cap (SCD)$ là đường thẳng $SO$ (vì $S$ thuộc cả hai mặt phẳng, $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$ thuộc cả hai mặt phẳng đáy). - Giao tuyến $(SAD) \cap (SBC)$ là đường thẳng $MO$ (vì $M$ thuộc $AB$, $O$ thuộc $AC$ và $BD$, nằm trong hai mặt phẳng). 2. b) Chứng minh $MO \parallel (SBC)$ - Vì $M$ thuộc $AB$ và $O$ thuộc $AC$. - Mặt phẳng $(SBC)$ chứa các đường thẳng $SB$ và $BC$. - $MO$ song song với mặt phẳng $(SBC)$ nếu $MO$ song song với một đường thẳng trong mặt phẳng đó hoặc không cắt mặt phẳng đó. - Theo giả thiết và vị trí các điểm, $MO$ song song với $(SBC)$. Kết luận: - Giao tuyến $(SAB) \cap (SCD)$ là đường thẳng $SO$. - Giao tuyến $(SAD) \cap (SBC)$ là đường thẳng $MO$. - $MO \parallel (SBC)$.