1. Masalah: Diberikan dua ruang topologi $(X, \tau)$ dan $(Y, \tau^\prime)$ serta pemetaan $f: X \to Y$. Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah bahwa $f^{-1}: Y \to X$ kontinu jika dan hanya jika $f$ adalah pemetaan terbuka, yang juga ekuivalen dengan $f$ adalah pemetaan tertutup. 2. Definisi dan aturan penting: - Pemetaan $f$ disebut \textit{terbuka} jika citra dari setiap himpunan terbuka di $X$ adalah himpunan terbuka di $Y$. - Pemetaan $f$ disebut \textit{tertutup} jika citra dari setiap himpunan tertutup di $X$ adalah himpunan tertutup di $Y$. - Pemetaan $f^{-1}$ kontinu berarti untuk setiap himpunan terbuka $U$ di $X$, $f^{-1}(U)$ adalah himpunan terbuka di $Y$. 3. Penjelasan: - Jika $f^{-1}$ kontinu, maka untuk setiap himpunan terbuka $U$ di $X$, $f^{-1}(U)$ terbuka di $Y$. - Karena $f^{-1}$ adalah invers dari $f$, maka $f^{-1}(U) = \{y \in Y : f^{-1}(y) \in U\} = \{y \in Y : y \in f(U)\} = f(U)$. - Jadi, $f(U)$ adalah himpunan terbuka di $Y$ untuk setiap himpunan terbuka $U$ di $X$, yang berarti $f$ adalah pemetaan terbuka. 4. Sebaliknya, jika $f$ adalah pemetaan terbuka, maka untuk setiap himpunan terbuka $U$ di $X$, $f(U)$ terbuka di $Y$. - Maka $f^{-1}$ kontinu karena preimage dari himpunan terbuka di $X$ melalui $f^{-1}$ adalah himpunan terbuka di $Y$. 5. Hubungan dengan pemetaan tertutup: - Dalam konteks ini, pemetaan terbuka dan tertutup ekuivalen karena sifat invers dan kontinuitas. Kesimpulan: $f^{-1}$ kontinu jika dan hanya jika $f$ adalah pemetaan terbuka, yang juga ekuivalen dengan $f$ adalah pemetaan tertutup.