1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم مفهوم نقاط داخلی مجموعه‌ها $E$ را در فضاهای متریک مختلف بررسی کنیم. 2. تعریف نقاط داخلی: نقطه‌ای $x$ در مجموعه $E$ داخلی است اگر یک همسایگی باز $N_r(x)$ وجود داشته باشد که کاملاً در $E$ قرار گیرد. 3. مثال اول: $E = \{0,1\}$ در فضای متریک $(X=\mathbb{R}, d)$. - مجموعه $E$ شامل فقط دو نقطه است. - برای هر نقطه، همسایگی باز کوچکی در نظر بگیرید. - چون هیچ بازه‌ای کوچک‌تر از فاصله بین 0 و 1 وجود ندارد که کاملاً در $E$ باشد، هیچ نقطه داخلی وجود ندارد. - بنابراین $E^\circ = \varnothing$ (مجموعه خالی). 4. مثال دوم: $E = \{z \in \mathbb{C} \mid 1 < |z| < 2\}$ در فضای متریک $(X=\mathbb{C}, d)$. - این مجموعه یک حلقه باز (annulus) در صفحه مختلط است. - هر نقطه داخل این حلقه یک همسایگی باز دارد که کاملاً در $E$ قرار می‌گیرد. - بنابراین همه نقاط $E$ داخلی هستند. - پس $E^\circ = E$. 5. نتیجه‌گیری: نقاط داخلی مجموعه در فضای متریک، نقاطی هستند که می‌توان حول آن‌ها یک توپ باز یافت که کاملاً در مجموعه قرار گیرد. 6. نکته مهم: $E^\circ$ همیشه زیرمجموعه‌ای از $E$ است و ممکن است خالی باشد یا برابر با $E$ باشد.