1. مسئله را بیان می‌کنیم: دو مثال داریم که در فضای متری (metric space) تعریف شده‌اند و می‌خواهیم مفهوم درونی (interior) مجموعه‌ها را توضیح دهیم. 2. تعریف درونی مجموعه: درونی یک مجموعه $E$ در فضای متری $X$، مجموعه‌ای از نقاط است که هر کدام یک همسایگی باز کاملاً درون $E$ دارند. به عبارت دیگر، نقطه $x$ در $E^\circ$ است اگر وجود داشته باشد یک شعاع $r>0$ به طوری که توپ باز $N_r(x) \subseteq E$ باشد. 3. مثال اول: $E = \{0,1\}$ در فضای $X=\mathbb{R}$ با متریک معمولی. - نقاط $0$ و $1$ تنها اعضای $E$ هستند. - برای هر نقطه، مثلاً $0$، هر توپ باز $N_r(0)$ شامل نقاطی خارج از $E$ است چون $E$ فقط شامل دو نقطه است. - بنابراین هیچ نقطه‌ای در $E$ همسایگی باز کاملاً درون $E$ ندارد. - نتیجه: $E^\circ = \emptyset$ یعنی درونی $E$ خالی است. 4. مثال دوم: $E = \{z \in \mathbb{C} : 1 < |z| < 2\}$ در فضای مختلط $X=\mathbb{C}$ با متریک معمولی. - این مجموعه حلقه باز بین دایره‌های شعاع 1 و 2 است. - هر نقطه $z$ در این مجموعه یک همسایگی باز وجود دارد که کاملاً درون $E$ است، چون فاصله از مرزها بیشتر از صفر است. - بنابراین $E^\circ = E$ یعنی درونی $E$ برابر خود $E$ است. 5. نکته مهم: درونی هر مجموعه زیرمجموعه‌ای از خود مجموعه است، یعنی همیشه $E^\circ \subseteq E$ برقرار است. نتیجه نهایی: - برای مجموعه‌های گسسته مانند $\{0,1\}$ در $\mathbb{R}$، درونی خالی است. - برای مجموعه‌های باز مانند حلقه باز در $\mathbb{C}$، درونی برابر خود مجموعه است.