1. **Énoncé du problème :** Nous avons un signal $x(t)$ défini par : $$x(t) = \begin{cases} \sqrt{\frac{-3 + \pi}{3}} & \text{si } \sqrt{3} + \frac{t-2}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{2} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ Nous devons : - Représenter $x(t)$ - Calculer la fonction d'autocorrélation $C_{xx}(T)$ - Trouver $T$ pour lequel $C_{xx}(T)$ est maximale - Donner la valeur maximale de $C_{xx}(T)$ - Calculer la transformée de Fourier de $x(t)$ 2. **Représentation de $x(t)$ :** La condition $\sqrt{3} + \frac{t-2}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{2}$ peut être réarrangée : $$\frac{t-2}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{2} - \sqrt{3}$$ $$t - 2 \leq \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$$ $$t \leq 2 + \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$$ Calculons la borne numérique : $$\sqrt{2} \approx 1.414, \quad \sqrt{3} \approx 1.732, \quad \sqrt{5} \approx 2.236$$ $$\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx -0.318$$ $$t \leq 2 + 2.236 \times (-0.318) = 2 - 0.711 = 1.289$$ Donc $x(t) = \sqrt{\frac{-3 + \pi}{3}}$ pour $t \leq 1.289$ et $0$ sinon. Valeur constante : $$\frac{-3 + \pi}{3} \approx \frac{-3 + 3.1416}{3} = \frac{0.1416}{3} = 0.0472$$ $$x(t) = \sqrt{0.0472} \approx 0.217$$ 3. **Calcul de la fonction d'autocorrélation $C_{xx}(T)$ :** Par définition : $$C_{xx}(T) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) x(t - T) dt$$ Ici, $x(t)$ est une fonction constante $0.217$ sur $(-\infty, 1.289]$ et nulle ailleurs. L'intégrale est donc sur l'intersection des supports de $x(t)$ et $x(t-T)$ : $$\text{support de } x(t) = (-\infty, 1.289]$$ $$\text{support de } x(t-T) = (-\infty, 1.289 + T]$$ L'intersection est $(-\infty, \min(1.289, 1.289 + T)]$. - Si $T \geq 0$, l'intersection est $(-\infty, 1.289]$ de longueur infinie, mais le signal est défini sur $t \leq 1.289$, donc l'intégrale est sur $(-\infty, 1.289]$. - Si $T < 0$, l'intersection est $(-\infty, 1.289 + T]$. Pour que l'intégrale soit finie, on suppose que le signal est nul en dehors de cet intervalle, donc on limite l'intégrale à l'intervalle fini. Longueur de l'intersection : $$L(T) = \min(1.289, 1.289 + T) - (-\infty) = \text{illimité}$$ Cela suggère que le signal est défini sur un intervalle semi-infini, ce qui rend l'autocorrélation infinie. Pour un signal physique, on suppose que le signal est nul en dehors d'un intervalle fini. Supposons que le signal est défini sur $[a, 1.289]$ avec $a$ très petit ou $a= -\infty$. Pour simplifier, considérons que le signal est défini sur $[0, 1.289]$ (car $t$ est souvent positif en pratique). Alors : $$C_{xx}(T) = \int_0^{1.289} x(t) x(t - T) dt$$ Le produit $x(t) x(t-T)$ est non nul seulement si $t$ et $t-T$ sont dans $[0, 1.289]$. L'intervalle d'intégration devient : $$t \in [\max(0, T), 1.289] \quad \text{si } T \geq 0$$ $$t \in [0, 1.289 + T] \quad \text{si } T < 0$$ La longueur de l'intervalle d'intégration est donc : $$L(T) = 1.289 - \max(0, T) \quad \text{pour } T \geq 0$$ $$L(T) = 1.289 + T \quad \text{pour } T < 0$$ La fonction d'autocorrélation est : $$C_{xx}(T) = (0.217)^2 \times L(T) = 0.0472 \times L(T)$$ 4. **Valeur de $T$ pour laquelle $C_{xx}(T)$ est maximale :** $C_{xx}(T)$ est maximale quand $L(T)$ est maximale. - Pour $T \geq 0$, $L(T) = 1.289 - T$ décroît avec $T$. - Pour $T < 0$, $L(T) = 1.289 + T$ croît avec $T$. Donc $L(T)$ est maximale en $T=0$. 5. **Valeur maximale de $C_{xx}(T)$ :** $$C_{xx}(0) = 0.0472 \times 1.289 = 0.0608$$ 6. **Transformée de Fourier de $x(t)$ :** Le signal $x(t)$ est une fonction constante $A=0.217$ sur $[0, 1.289]$ et 0 ailleurs. La transformée de Fourier est : $$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt = \int_0^{1.289} A e^{-j 2 \pi f t} dt$$ $$= A \left[ \frac{e^{-j 2 \pi f t}}{-j 2 \pi f} \right]_0^{1.289} = \frac{A}{-j 2 \pi f} \left(e^{-j 2 \pi f \times 1.289} - 1\right)$$ On peut écrire : $$X(f) = A \times 1.289 \times \mathrm{sinc}(\pi f \times 1.289) e^{-j \pi f \times 1.289}$$ avec $$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$$ --- **Résumé final :** - $x(t) = 0.217$ pour $t \leq 1.289$, 0 sinon (supposé sur $[0,1.289]$) - $C_{xx}(T) = 0.0472 \times (1.289 - |T|)$ pour $|T| \leq 1.289$, 0 sinon - $C_{xx}(T)$ maximale en $T=0$ avec $C_{xx}(0) = 0.0608$ - Transformée de Fourier : $$X(f) = \frac{0.217}{-j 2 \pi f} \left(e^{-j 2 \pi f \times 1.289} - 1\right)$$