1. Énonçons le problème : Calculer la valeur de $$A = \sqrt{3} \cos(30^\circ) + \sin^2(45^\circ) + \sin^2(30^\circ) + \sqrt{8} \tan(60^\circ)$$. 2. Rappel des valeurs trigonométriques importantes : - $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ - $$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$ - $$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$ 3. Calculons chaque terme : - $$\sqrt{3} \cos(30^\circ) = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$$ - $$\sin^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - $$\sin^2(30^\circ) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ - $$\sqrt{8} \tan(60^\circ) = \sqrt{8} \times \sqrt{3} = \sqrt{8 \times 3} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ 4. Additionnons tous les termes : $$A = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 2\sqrt{6}$$ 5. Simplifions la partie fractionnaire : $$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ 6. Donc : $$A = 2 + \frac{1}{4} + 2\sqrt{6} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} + 2\sqrt{6} = \frac{9}{4} + 2\sqrt{6}$$ 7. Résultat final : $$A = \frac{9}{4} + 2\sqrt{6}$$ C'est la valeur exacte de l'expression donnée.