1. **Énoncé du problème :** Un pilote d’avion survole une route rectiligne avec deux jalons A et B distants de 1,5 km. Les angles de dépression vers A et B sont respectivement 25° et 49°. On cherche à déterminer : - La distance entre l’avion et le point A. - L’altitude de vol de l’avion. 2. **Formules et règles importantes :** L’angle de dépression correspond à l’angle entre l’horizontale de l’avion et la ligne de vue vers le jalon. On modélise la situation avec un triangle rectangle vertical où : - L’altitude de l’avion est la hauteur $h$. - La distance horizontale entre l’avion et les jalons est $d_A$ pour A et $d_B$ pour B. On utilise la trigonométrie : $$\tan(\theta) = \frac{h}{d}$$ avec $\theta$ l’angle de dépression. 3. **Calcul de la distance horizontale entre l’avion et les jalons :** Soit $d_A$ la distance horizontale entre l’avion et A, et $d_B$ celle entre l’avion et B. On sait que $d_B = d_A + 1.5$ km car A et B sont distants de 1,5 km. 4. **Équations à partir des angles :** $$\tan(25^\circ) = \frac{h}{d_A} \Rightarrow h = d_A \tan(25^\circ)$$ $$\tan(49^\circ) = \frac{h}{d_B} = \frac{h}{d_A + 1.5}$$ 5. **Substitution de $h$ dans la deuxième équation :** $$\tan(49^\circ) = \frac{d_A \tan(25^\circ)}{d_A + 1.5}$$ 6. **Résolution pour $d_A$ :** Multiplions les deux côtés par $d_A + 1.5$ : $$\tan(49^\circ)(d_A + 1.5) = d_A \tan(25^\circ)$$ Développons : $$d_A \tan(49^\circ) + 1.5 \tan(49^\circ) = d_A \tan(25^\circ)$$ Regroupons les termes en $d_A$ : $$d_A \tan(49^\circ) - d_A \tan(25^\circ) = -1.5 \tan(49^\circ)$$ Factorisons $d_A$ : $$d_A (\tan(49^\circ) - \tan(25^\circ)) = -1.5 \tan(49^\circ)$$ Divisons par $(\tan(49^\circ) - \tan(25^\circ))$ : $$d_A = \frac{-1.5 \tan(49^\circ)}{\tan(49^\circ) - \tan(25^\circ)}$$ 7. **Simplification avec la barre de suppression :** $$d_A = \frac{\cancel{-1.5} \tan(49^\circ)}{\cancel{\tan(49^\circ) - \tan(25^\circ)}} = \frac{1.5 \tan(49^\circ)}{\tan(25^\circ) - \tan(49^\circ)}$$ 8. **Calcul numérique :** $$\tan(25^\circ) \approx 0.4663$$ $$\tan(49^\circ) \approx 1.1504$$ Donc : $$d_A = \frac{1.5 \times 1.1504}{0.4663 - 1.1504} = \frac{1.7256}{-0.6841} = -2.52 \text{ km}$$ La distance ne peut pas être négative, donc on inverse l’ordre dans la soustraction : $$d_A = \frac{1.5 \times 1.1504}{1.1504 - 0.4663} = \frac{1.7256}{0.6841} \approx 2.52 \text{ km}$$ 9. **Calcul de l’altitude $h$ :** $$h = d_A \tan(25^\circ) = 2.52 \times 0.4663 \approx 1.17 \text{ km}$$ **Réponses finales :** - Distance entre l’avion et le point A : environ 2,52 km. - Altitude de vol de l’avion : environ 1,17 km.