1. **Énoncé du problème :** M. Chauvin a un tourne-disque qui tourne à 33 \frac{1}{3} tours par minute. Un papillon de nuit se déplace sur un arc de cercle du disque, et la distance $d$ entre le papillon et le chat Tai-lung varie entre 5 cm (plus proche) et 25 cm (plus éloigné). On modélise cette distance par la fonction sinusoidale $$d(t) = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}(t - c)\right) + 15,$$ où $t$ est le temps en secondes. 2. **Données importantes :** - Amplitude $A = 10$ cm (car la distance varie de 15 \pm 10) - Décalage vertical $D = 15$ cm (distance moyenne) - Fréquence angulaire $\omega = \frac{19\pi}{6}$ - On cherche la constante $c$ pour que $d(\frac{3}{5}) = 10$ cm. 3. **Calcul de $c$ :** On remplace $t = \frac{3}{5}$ et $d(t) = 10$ dans la fonction : $$ 10 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) + 15 $$ On isole le sinus : $$ 10 - 15 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) $$ $$ -5 = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) $$ On divise par 10 en montrant l'annulation : $$ -\cancel{5} \div \cancel{10} = \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) \cancel{10} \div \cancel{10} $$ $$ -\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right)\right) $$ 4. **Résolution de l'équation trigonométrique :** On sait que $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$ pour $\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. On pose : $$ \frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $$ ou $$ \frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi $$ 5. **Calcul de $c$ pour la première solution ($k=0$) :** $$ \frac{19\pi}{6}\left(\frac{3}{5} - c\right) = -\frac{\pi}{6} $$ Diviser par $\frac{19\pi}{6}$ : $$ \frac{3}{5} - c = \frac{-\frac{\pi}{6}}{\frac{19\pi}{6}} = -\frac{1}{19} $$ Donc : $$ c = \frac{3}{5} + \frac{1}{19} = \frac{57}{95} + \frac{5}{95} = \frac{62}{95} \approx 0.6526 $$ 6. **Conclusion :** La constante $c$ est environ $0.653$ secondes pour que la distance soit 10 cm à $t=\frac{3}{5}$ s. **Résumé :** La distance entre le papillon et le chat est modélisée par $$ d(t) = 10 \sin\left(\frac{19\pi}{6}(t - 0.653)\right) + 15. $$