1. Énonçons le problème : vérifier l'identité trigonométrique $$\sin^2 \alpha (1 + \cot^2 \alpha) + \cos^2 \alpha (1 + \tan^2 \alpha) = 2$$ en précisant les conditions d'existence. 2. Rappel des définitions et conditions d'existence : - $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, donc $$\cos \alpha \neq 0$$. - $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$, donc $$\sin \alpha \neq 0$$. 3. Utilisons les identités trigonométriques fondamentales : - $$1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$. - $$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$. 4. Remplaçons dans l'expression : $$\sin^2 \alpha \times \frac{1}{\sin^2 \alpha} + \cos^2 \alpha \times \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 1 = 2$$ 5. Vérification intermédiaire avec simplification : $$\sin^2 \alpha \cancel{\times \frac{1}{\sin^2 \alpha}} + \cos^2 \alpha \cancel{\times \frac{1}{\cos^2 \alpha}} = 1 + 1 = 2$$ 6. Conclusion : L'identité est vérifiée sous les conditions $$\sin \alpha \neq 0$$ et $$\cos \alpha \neq 0$$.